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Bijection.

Publié : 13 sept. 2017 16:36
par Bidoof
Salut à tous.

S'il existe $ g : Y \mapsto X $ et $ f : X \mapsto Y $ tel que $ g\circ f = Id_{X} $ et $ f \circ g = Id_{Y} $ alors $ f $ est bijective.

En fait dans ma démo je tiens pas compte de $ g\circ f = Id_{X} $. Peut-on supprimer cette hypothèse ? ça me semble bizarre, je cherche un contre exemple. Mais peut-être serait-il plus sage de réviser ma démo.
Puisque $ \forall y \in Y, f(g(y))=y $ alors $ \forall y \in Y, \exists ! x = g(y) \in X ; f(x)=y $.

Re: Bijection.

Publié : 13 sept. 2017 16:59
par darklol
Contre-exemple: $ X=Y=C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R}) $. $ F = f \longmapsto f' $, $ G = f \longmapsto \left( x \longmapsto \int_0^x f(t) dt \right) $.

$ F \circ G = \text{id} $, mais $ F(1) = F(2) $ donc $ F $ n'est pas injective. L'erreur dans ta preuve est l'unicité de ton $ x $.

Re: Bijection.

Publié : 13 sept. 2017 17:04
par darklol
Exo supplémentaire: montrer que ton résultat (i.e. en omettant une des deux hypothèses) est vrai si $ X=Y=\mathbb{R} $ et $ f $ et $ g $ continues. Et contre-exemple sans la continuité.

Re: Bijection.

Publié : 13 sept. 2017 20:46
par Bidoof
Super ! C'est vraiment une réponse qui m'aide, c'est très souvent le cas lorsque vous me répondez, vous avez un don. Et je suis sur plusieurs forum, je lis beaucoup de réponses qui ne m'aide pas.
Demain je vais faire les exercices, je suis impatient.

Re: Bijection.

Publié : 13 sept. 2017 22:54
par oty20
jolie question darklol , premiere idée : le probleme est clairement l'injectivité de f soient x, y tel que f(x)=f(y) , s'il existe a et b tel que g(a)=x et g(b)=y alors c'est fini , sinon g(R) ne contient pas x ou y , sans perdre de généralité on a pour tout z soit g(z) < min(x,y) ou g(z) > max(x,y) due au théorème de valeur intermédiaire ... j'essayerai de m'y penché sérieusement plus-tard , j'ai trop sommeil , bonne nuit a tous .

Re: Bijection.

Publié : 14 sept. 2017 18:01
par Bidoof
Oty20 utilise des spoilers s'il te plaît. (Je ne vais pas lire mais quand même).
Je suis en train de travailler sur le sujet, j'ai la preuve de l'exo je cherche le contre exemple.

Re: Bijection.

Publié : 14 sept. 2017 18:08
par Bidoof
darklol a écrit :
13 sept. 2017 17:04
Exo supplémentaire: montrer que ton résultat (i.e. en omettant une des deux hypothèses) est vrai si $ X=Y=\mathbb{R} $ et $ f $ et $ g $ continues. Et contre-exemple sans la continuité.
Exercice :

********************************************************** SPOILER **************************************************************
Je suppose que $ f\circ g = id_{\mathbb{R}} $
- $ g $ est injective donc strictement monotone.
Et puisqu'elle est continue alors $ Im(g) = ]lim_{-\infty} g ; lim_{+\infty} g[ $
- $ f $ est surjective.
$ f $ est injective sur $ Im(g) $ donc il suffit de montrer qu'il s'agit de $ \mathbb{R} $
Supposons qu'il l'une des deux bornes soit finie notée $ l $ alors par symétrique par rapport à la première bissectrice, $ f(l)=+\infty $, c'est absurde car $ f $ est continue sur $ \mathbb{R} $ donc $ f(l) $ est un nombre réel.

Contre exemple :

********************************************************** SPOILER **************************************************************
$ f(x) = \sqrt{x}, x \ge 0 $ et $ f(x) = -1 - \sqrt{-x}, x < 0 $ elle n'est pas surjective $ ]0;-1[ $ non atteint.
$ g(x) = x^{2}, x \ge 0 $ et $ g(x) = -(x+1)^{2}, x < 0 $
Et $ g(f(x))=x $

Re: Bijection - ne pas spoiler ...

Publié : 14 sept. 2017 18:38
par U46406
à Bidoof :
il existe des balises adaptées, à savoir, la balise spoiler (comme son nom l'indique) :
SPOILER:
exemple

Re: Bijection.

Publié : 14 sept. 2017 18:50
par Bidoof
Je sais mais elle ne se déroule pas sur mon ordi.

Re: spoiler

Publié : 14 sept. 2017 19:06
par U46406
Chez moi, ça marche plus ou moins bien, j'ouvre donc un ticket de bug :mrgreen: :
http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 81#p892281