Unicité de la limite

[Koppnayw]

Bonjour,
On considère l'espace vectoriel $ C^{0}([0,1],R) $ muni de la norme $ ||f||=\int_{0}^{1}|f(s)|ds $.

Soit $ f_{n}: t \mapsto \begin{cases}
0 &\text{ si }0\leq t < \frac{1}{2}-\frac{1}{n} \\
\frac{n}{2}(t-\frac{1}{2}+\frac{1}{n}) &\text{ si } \frac{1}{2}-\frac{1}{n} \leq t \leq \frac{1}{2}+\frac{1}{n} \\ 1 &\text{ si } \frac{1}{2}+\frac{1}{n} < t \leq 1
\end{cases} $.

Alors cette suite de fonctions converge en norme vers la fonction qui vaut 0 si $ 0\leq t < \frac{1}{2} $ et 1 sinon, mais aussi vers la fonction qui vaut 0 si $ 0\leq t \leq \frac{1}{2} $ et 1 sinon.

Du coup, pourquoi l'unicité de la limite ne marche pas ici ? Juste parce que $ C^{0}([0,1],R) $ muni de la norme définie n'est pas un fermé ou il y a autre chose ?

[Kallio]

Comment peux-tu avoir du n dans l'expression de ta limite ?

Lorsque l'on passe à la limite, les inégalités deviennent larges. Si on suit la définition de ta suite de fonctions, la limite vaudrait 0 et 1 en t = 1/2, ce qui n'a pas de sens, non ?

[Koppnayw]

Je me suis trompé quand j'ai recopié, j'edit. Ce serait la limite point par point mais là on considère la norme avec l'intégrale. Mais même si cet exemple ne marche pas, on peut en trouver d'autres plus simples où on voit qu'il n'y aurait pas unicité de la limite et je comprends pas pourquoi. (C'est peut être moi qui délire complètement aussi)

[Kallio]

Ok. Cependant, étant donné que les inégalités deviennent larges par passage à la limite, tu ne peux pas avoir d'inégalité stricte dans ta première "limite"

[Koppnayw]

Ah oui d'accord. Mais si on prend $ f_{n}(x)=x^{n} $, alors on peut dire qu'il y a convergence en norme vers la fonction nulle mais aussi vers la fonction qui est nulle sauf en 1 où elle vaut 1, non ?

[Kallio]

Si on parle toujours de la même norme, celle-ci n'en est pas une sur l'espace des fonctions continues par morceaux (ensemble auquel ta seconde limite appartient), car l'axiome de séparation n'est pas vérifié (on peut trouver une infinité de fonctions ayant une norme nulle). Du coup, je pense qu'on ne peut même pas parler de norme pour ta seconde limite ?

[Koppnayw]

Donc ça veut dire qu'on considère que la fonction définie dans mon premier message ne converge pas ? Parce que c'est marqué dans mon cours que ça converge et c'est censé être un contre exemple au fait que les fonctions continues munies de la norme définie n'est pas complet

[Koppnayw]

En gros la convention serait : à partir du moment où une suite d'un espace V converge dans l'adhérence de V, alors on dit qu'elle ne converge pas, car sinon il n'y aurait pas unicité de la limite. Quelqu'un pour confirmer ceci ?

[Kallio]

Donc ça veut dire qu'on considère que la fonction définie dans mon premier message ne converge pas ? Parce que c'est marqué dans mon cours que ça converge et c'est censé être un contre exemple au fait que les fonctions continues munies de la norme définie n'est pas complet

Pour moi ça ne converge pas (ni au sens de ta norme [i.e la norme de la différence tend vers 0] car celle-ci n'est pas définie pour ta limite, ni simplement) , mais si ton cours dit le contraire je me trompe peut-être ...
S'il s'agit d'un tel contre-exemple cela veut dire que ta suite de fonctions est une suite de Cauchy qui ne converge pas dans l'espace des fonctions continues.

En gros la convention serait : à partir du moment où une suite d'un espace V converge dans l'adhérence de V, alors on dit qu'elle ne converge pas, car sinon il n'y aurait pas unicité de la limite. Quelqu'un pour confirmer ceci ?

Ou plutôt converge dans la frontière de V.
En tout cas, l'unicité de la limite a lieu lorsque la limite existe et est dans l'espace sur lequel la norme est définie.

[Koppnayw]

S'il s'agit d'un tel contre-exemple cela veut dire que ta suite de fonctions est une suite de Cauchy qui ne converge pas dans l'espace des fonctions continues.

En fait dans le cours il y a écrit que ça converge donc c'est une suite de Cauchy, mais c'est bizarre, je suis d'accord avec toi et je pense que c'est faux.