valeur absolue de sinus, question bizarre

[mik2000]

bonsoir, je suis tombé sur la suite u
$ u_{n}= \mid sin(n)\mid

S_{n}=(1/n)*\sum_{k=0}^{n} u_{n} $

et je voudrais montrer que u diverge. J ai une méthode mais je me demande si ya pas plus simple.
J utlise le théoreme de Césaro ( ce qui n est pas dans le cours aussi...)

comment j ai fait:
j introduit S
et je raisonne par l absurde.
je suppose que u converge. soit l sa limite
d apres cesaro, S converge aussi vers l
or je minore S par une suite qui converge vers 1/2
donc l est supérieur a 1/2
donc pour n assez grand la valeur absolue du sinus est superieur a 1/3
or pour n proche des multiples de Pi, le sinus est proche de 0. et ne peut donc pas etre superieur a 1/3...
d ou l absurdité
ainsi u diverge.
Mais n y t il pas plus simple ?
merci
Mik

[mik2000]

rebonjour,
personne n a d idee ?

[darklol]

Tu veux montrer que $ (u_n) = (|sin(n)|) $ diverge c'est bien ça?
Si oui, tu peux procéder directement sans introduire $ S $, tu peux commencer par montrer que si $ |\sin(n)| \to l $ alors la suite $ (|\cos(n)|) $ converge aussi, et ensuite tu utilises différentes relations algébriques entre les fonctions $ \cos $ et $ \sin $ pour trouver l'unique valeur possible de $ l $ à l'aide de suites extraites. Et tu essayes d'aboutir à une contradiction.

[darklol]

or pour n proche des multiples de Pi, le sinus est proche de 0

Qu'est ce que ça veut dire proche? En l'état, ta phrase est fausse.

[mik2000]

Merci pour vos réponses,
je vais essayer de trouver du temps pour chercher meme si il me semble que les fonctions cos et sin sont bien "connues" mais pas toujours simple...
a cause de Pi je pense, dont on sait pas grand chose. On sait deja que Pi est irrationnel mais aprés ? etc...
donc oui
quand je disais " sinus de n est proche de zeros" quand n est proche d un multiple de Pi, c est a la "louche", je pense qu il faudrait faire un chapitre de cours sur Pi ! j ai cherché a majoré le sinus en utlilisant que Sin est lipschitzienne... apres bon je tombe sur la partie fractionnaire de n*Pi....

ca prend trop de temps la pour moi je crois....

pour Dattier,...
la question 1 , c est theorique ou numerique ? je peux expliciter les suites a et b ? je vois pas trop comment a +b*2Pi peut tendre vers 0 car on a des entiers....bon ya 2Pi qui est irrationnel....
dans ma tete j ai fait des petits tests

[mik2000]

globalement en cours/Td on traite pas trop les cos/sin en détails, je me suis aidé d internet !