reduction des endomorphismes

[taupin98]

bonjour ,je me suis bloquée dans une question ,est ce qu'il y a quelqu'un pour me guider

au debut ,on fixe A une matrice nilpotente on definit cet endemorphisme de Mn(K) qui a chaque M fait associe AM-MA et une forme lineaire fA qui a chaque M fait associer tr(AM), j'ai montrer que l'application qui a chaque matrice A fait associer fA est un isomorhisme et puis que le ker du premier endomorphisme est inclus dans le ker la forme lineaire definie precedemment.
et puis on nous demande de montrer que A est nilpotente ssi il existe B tel que A =BA-AB


et puis
A est nilpotente ssi A set semblable à 2A

et merci d'avance.

[Leo11]

Ya un exo classique qui consiste à démontrer qu'une matrice $ A $ de $ M_n(\mathbb{R}) $ est nilpotente ssi pour tout k entre 1 et n, $ Tr(A^k)=0 $ et ça devrait te débloquer.
Indice:

SPOILER:

pour le sens difficile, commence par exprimer les vaps de $ A^k $ avec celles de $ A $ et pense aux déterminants de VanderMonde