Bonjour,
Je bloque complètement sur un exercice des Gourdons sur les séries entières . Je ne sais pas comment rédiger en LaTex donc voilà je vous mets le lien de la photo : https://imgur.com/a/voMZl
Je ne comprends pas pourquoi Sn est le nombre de manière à combiner les puissances de z de chaque terme du produit pour que leur somme soit égale à n .
Merci à vous et bonne journée .
Exercice des Gourdons
Exercice des Gourdons
L'examinateur sort son portable de sa poche et le place à la verticale sur la table. Le portable tombe. Expliquer.
Re: Exercice des Gourdons
C'est parce que quand tu fais le produit de Cauchy de tes séries entières tu as une double somme : une somme sur n et à l'intérieur une somme sur les p-uplets dont la somme des coefficients vaut n. Or dans cette seconde somme tu ne sommes que des 1, c'est pour ça que tu as une telle définition de Sn.
MVA
Re: Exercice des Gourdons
Hmm le problème c'est que je n'arrive pas à expliciter la somme sur les p-uplets ... et pourquoi on ne somme que des 1 ?
Mercii
Mercii
L'examinateur sort son portable de sa poche et le place à la verticale sur la table. Le portable tombe. Expliquer.
Re: Exercice des Gourdons
Ce sera peut-être plus simple si on considère le cas avec deux séries :
Si tu considères les deux séries entières $ \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} a_{n}z^{n} $ et $ \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} b_{n}z^{n} $ alors le produit de Cauchy de ces deux séries est $ \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} c_{n}z^{n} $ où $ c_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_{k}b_{n-k} $ (je ne fais que donner une définition, tu la connais sûrement déjà). Pour obtenir le terme de degré $ n $, $ c_n $, tu choisis un terme dans chaque somme de sorte que la puissance de $ z $ soit égale à $ n $. Comme il y a plusieurs façons de faire cela tu obtiens finalement $ c_{n}z^{n} $. On peut réécrire $ c_n $ de la façon suivante : $ c_{n} = \displaystyle\sum_{p + q = n} a_{p}b_{q} $.
Pour plusieurs séries, il suffit de généraliser cette formule et donc sommer sur des p-uplets. Est-ce que cela répond à ta question "comment expliciter la somme sur les p-uplets ?".
Pour ce qui est de la somme de 1, on a dans notre cas $ a_{n} = b_{n} = 1 $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $, et comme chacun de ces 1 représentent une façon de combiner les puissances pour obtenir $ n $, $ c_n $ (noté $ S_n $ dans ton exercice) représente bien le nombre de façons possibles de combiner les puissances.
Je ne sais pas si j'ai été assez clair
Si tu considères les deux séries entières $ \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} a_{n}z^{n} $ et $ \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} b_{n}z^{n} $ alors le produit de Cauchy de ces deux séries est $ \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} c_{n}z^{n} $ où $ c_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_{k}b_{n-k} $ (je ne fais que donner une définition, tu la connais sûrement déjà). Pour obtenir le terme de degré $ n $, $ c_n $, tu choisis un terme dans chaque somme de sorte que la puissance de $ z $ soit égale à $ n $. Comme il y a plusieurs façons de faire cela tu obtiens finalement $ c_{n}z^{n} $. On peut réécrire $ c_n $ de la façon suivante : $ c_{n} = \displaystyle\sum_{p + q = n} a_{p}b_{q} $.
Pour plusieurs séries, il suffit de généraliser cette formule et donc sommer sur des p-uplets. Est-ce que cela répond à ta question "comment expliciter la somme sur les p-uplets ?".
Pour ce qui est de la somme de 1, on a dans notre cas $ a_{n} = b_{n} = 1 $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $, et comme chacun de ces 1 représentent une façon de combiner les puissances pour obtenir $ n $, $ c_n $ (noté $ S_n $ dans ton exercice) représente bien le nombre de façons possibles de combiner les puissances.
Je ne sais pas si j'ai été assez clair
MVA
Re: Exercice des Gourdons
Ah ouuiiii maintenant je vois le truc ... Mercii beaucoup 
!!
!!L'examinateur sort son portable de sa poche et le place à la verticale sur la table. Le portable tombe. Expliquer.