Séries et notations o, ~

[natihun]

Bonjour à tous,
dans un exercice principalement sur les séries je dois manipuler des intégrales, et je me posais la question suivante:
puis-je écrire :
$ \int\limits_{-1}^{0}\sum \limits_{k=n+1}^{+\infty} t^{k} dt = \sum\limits_{k=n+1}^{+\infty} \frac{t^{k+1}}{1-t} $, c'est-à-dire considérer que j'intègre sur ]-1;0] et utiliser les séries géométriques

Par ailleurs, on a :
$ \int\limits_{0}^{x} \frac{t^{n+1}}{1-t} \sim_{0} \int\limits_{0}^{x} t^{n+1} $ c'est-à-dire $ \int\limits_{0}^{x} \frac{t^{n+1}}{1-t} \sim_{0} \frac{x^{n+2}}{n+2} + o(\frac{x^{n+2}}{n+2}) $
est-ce que je peux évaluer la fonction ci-dessus pour obtenir un équivalent selon, c'est à dire écrire :
$ \int\limits_{0}^{-1} \frac{t^{n+1}}{1-t} = \frac{(-1)^{n}}{n+2} + o(\frac{(-1)^{n+2}}{n+2}) $ et donc $ \int\limits_{0}^{-1} \frac{t^{n+1}}{1-t} \sim_{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+2} $

Merci d'avance!

[Lily1998]

C'est un problème d'inversion de symboles, il y a des théorèmes là-dessus. Si tu ne les as pas encore vus, ça ne devrait tarder (les fameux théorèmes avec 4/5 hypothèses à vérifier).

Si je ne me trompe pas, tu as le droit de le faire, par contre il faut le justifier parce que ça ne sera pas vrai dans tous les cas.

[jmctiti]

Bonjour
De toutes façons,tdans ce cas tu peux aussi écrire une somme finie :
$ \dfrac{1}{1-t} = 1+t+t^2+\cdots+t^n+r_n $ avec $ r_n=\cdots $

SPOILER:

$ r_n = \dfrac{t^{n+1}}{1-t} $

Il suffit ensuite, après intégration terme à terme, de majorer correctement la valeur absolue du reste pour conclure
(enfin, il faudrait avoir tout l'exo)