Fonction caractéristique

[Demo08]

Bonjour je rencontre un problème sur deux questions de probabilité.

Soit X une variable aléatoire réelle, Phi sa fonction caractéristique.

1) on suppose qu'il existe t tel que |phi| = 1, montrer qu'il existe x0 tel que le support de la loi de X soit inclus dans x0 + 2pi/t * k avec k appartenant aux nombres entiers relatifs

2) phi(t)=cos(t)^2 determiner si il s'agit d'une fonction caractéristique, et si oui de quelle loi

[darklol]

Est-ce que tu as cherché un peu avant de venir poser tes questions? Des indications:
1) Quand est-ce que le module d’une intégrale est égal à l'intégrale du module de l’intégrande?
2) Comme $ \phi(t) = \cos(t) \times \cos(t) $, il suffirait de trouver une variable aléatoire $ X $ dont la fonction caractéristique soit $ t \longmapsto \cos(t) $. Ensuite si tu prends $ Y $ une v.a. indépendante de $ X $ et de même loi, alors la fonction caractéristique de $ X + Y $ ça sera bien $ t \longmapsto \cos^2(t) $. Maintenant pour trouver $ X $, normalement en observant la symétrie de la loi ça devrait être évident, mais si ça ne l’est pas pour toi on devrait pouvoir se servir de la question 1...

[Demo08]

Bonjour,

Oui j'ai cherché en fait il Ya 3 questions avant, que j'ai résolues.

1) pourquoi parlez vous D' integrale alors que l'on a pas supoose que la VA est a densité ? J'ai essayé d'écrire le module de la fonction caractéristique mais ça ne m'a pas avancé ....

2) merci j'avais bien pensé à cela mais je ne trouve pas loi de la variable X dont vous parlez

[Demo08]

Est ce que la loi de X serait par hasard

P(X=1) = 1/2
P(X=-1)=1/2

[darklol]

Tu es en quelle classe? En théorie de la mesure, une espérance est par définition une intégrale. Si tu n’a pas eu de cours de théorie de la mesure, et qu’on ne fait aucune hypothèse sur $ X $, tu ne peux même pas de définir $ \mathbb{E}(e^{itX}) $.

Pour la question 2) ça n’est vraiment pas compliqué: déjà commence par utiliser la question 1), cherche un $ t \neq 0 $ tel que $ cos(t) = 1 $ et applique le résultat.

[darklol]

Est ce que la loi de X serait par hasard

P(X=1) = 1/2
P(X=-1)=1/2

Oui, et ce n’est pas par hasard. Si tu fais le calcul tu verras que ça marche.

[Demo08]

Je ne l'ai pas trouvé par hasard...

Je connais la théorie de la mesure et je suis d'accord avec ce que vous dites. Mais est il necessaire de passer par l'intégrale ?

[darklol]

Je vois difficilement comment on pourrait s'en passer vu que comme je l'ai dit, la fonction caractéristique est justement définie par une intégrale.

[Demo08]

Dans ce cas

"1) Quand est-ce que le module d’une intégrale est égal au module de l’intégrande?"

Si l'intégrande ne change pas de signe ou si la fonction est périodique sur l'intervalle

[darklol]

Désolé ma question était très mal posée, je voulais dire "quand est-ce que le module d'une intégrale est égal à l'intégrale du module de l'intégrande", mais visiblement tu avais compris.

Si l'intégrande ne change pas de signe

Vrai pour une intégrande à valeurs réelles, mais ici l'intégrande est à valeurs complexes, donc il faut généraliser un peu ce théorème.

ou si la fonction est périodique sur l'intervalle

par contre je suis perplexe face à cette affirmation.