Demande d'aide exercice SUP PCSI

[Jufi]

Bonsoir à tous, je me permet de solliciter votre aide car je bloque sur un exercice malgré l'avoir cherché...

L'exercice est le suivant :

Montrer que pour tout n appartenant à N*, la somme des k(k!) pour k allant de 1 à n vaut (n+1)! - 1

Je connais 3 techniques pour calculer une somme:
1. Me ramener à la somme des q^i pour i de 0 à n avec q appartenant aux Complexes

2. Me ramener à la somme des k pour k de 1 à n

3. Reconnaître un télescopage

J'ai donc éliminé les deux premières méthodes et je pense qu'il faut trouver un télescopage cependant c'est là où je bloque, je ne le trouve pas !
J'ai essayé d'écrire ma somme en pointillés, ce qui donne :

1*(1) + 2*(2*1) + 3*(3*2*1) + ... + n*(n!)

Mais sans résultat je ne reconnais aucun télescopage...
Pouvez m'eclaircir s'il vous plaît, me donner un indice afin de me débloquer car je ne sais pas où aller, merci d'avance et bonne soirée.

Respectueusement Jufi.

PS: Je m'excuse par avance de ne pas avoir écrit les formule en LaTex mais c'est la première fois que je poste sur un forum de maths et je n'ai pas réussi à utiliser l'outil.

[Protostus]

Salut!
Tu n'es pas forcé d'utiliser un télescopage: ce genre d'identités peut souvent se prouver par récurrence sur n.

[Jufi]

Salut et merci pour ta réponse rapide !
Cependant je ne vois pas comment une récurrence peut m'aider ici car je pars d'une somme et je cherche à montrer qu'elle est égale à l'expression (n+1)! - 1 et donc en faisant une récurrence cela reviendrait à monteer que la somme des (k+1)*(k+1)! est égale à (n+2)! - 1 ce qui me fait tourner en rond non ?

[Protostus]

Pas exactement, car avec la récurrence, tu as par hypothèse que la somme des k*k! jusqu'à n vaut (n + 1)! - 1.
Ta somme devient alors (n + 1)! - 1 + (n + 1)(n + 1)! et il te reste juste à montrer que ça vaut (n + 2)! - 1.

[Jufi]

D'accord je vais réfléchir sur ça, merci beaucoup pour l'aide !

EDIT: C'est bon j'ai enfin réussi l'exercice à l'aide d'une récurrence, merci beaucoup Protostus pour l'aide et bonne nuit !

[Kallio]

Il s'agit bien d'un télescopage. Écris k = k+1-1, je te laisse finir

[Jufi]

Effectivement Antoine j'ai réussi également à résoudre l'exercice par télescopage avec ton astuce et c'est plus rapide que la récurrence ! Merci pour ton aide.

[jmctiti]

Bonjour

Il peut être bon de remarquer que si l'on demande de prouver que :
$ \displaystyle\sum_{k=0}^n u_k = S_n $
c'est que l'on a forcément : $ u_n = S_n - S_{n-1}. $

La façon de trouver la suite va permettre une simplification par télescopage
est donc donnée dans la question.

Et, dans ce cas, télescopage et récurrence sont équivalents.