arithmétique

[EPL]

Bonjour !
J'ai des exercices à préparer en maths qui n'ont malheureusement pas de rapport avec ce que l'on fait en cours mais le prof a dit que ce serait utile pour se rappeler de certaines méthodes de terminale et que l'on pouvait chercher de l'aide sur internet.
Du coup, une des questions est "trouver tous les couples (a,b) d'entiers strictement positifs tels que b^a=a^b." Et honnêtement je n'ai vraiment aucune idée de la manière de s'y prendre. Est-ce que ça a rapport avec le théorème de gauss ou pas du tout ?
merci de votre aide !

[bullquies]

salut

pas du tout. quelle est la première chose que tu peux essayer de faire si tu as une équation ?

[Hibiscus]

Commence par montrer que $ b^a = a^b \Longleftrightarrow \frac{ln(a)}{a} = \frac{ln(b)}{b} $
Puis, comme tu connais bien la fonction ln(x)/x, tu trouves les seules valeurs possibles..

[EPL]

alors j'ai fait: Posons a^b= e^bln(a), a^b=b^a ssi e^bln(a)=e^aln(b) ssi bln(a)=aln(b) ssi ln(a)/a = ln(b)/b or on sait que ln est strictement positive. Mais après pour trouver les solutions comment fait-on ?

[Hibiscus]

ln est strictement positive ?

[EPL]

pardon je voulais dire ln(x) est positive

[Krik]

pardon je voulais dire ln(x) est positive

Pour quels$ x $ ?

Une fois que tu as montré que ton problème se ramène à trouver les couples d'entiers tels que $ ln(a)/a = ln(b)/b $, ce n'est pas une considération sur le signe de la fonction ln qui te permettra de conclure mais une étude de $ x \mapsto ln(x)/x $ comme cela t'a déjà été dit.

Si tu ne vois pas pourquoi, trace-la, et fais attention à sa monotonie.

[EPL]

ok alors j'obtiens f(x) croissant sur ]0;e] et décroissant sur [0;+infini[

[EPL]

donc tous les entiers compris entre 0 et e permettent l'égalité b^a=a^b ?

[Lily1998]

Non. Si tu prends a = 1 et b=2 tu vois bien que ça ne marche pas.