Demande d'aide exercice SUP PCSI

[Jufi]

Bonsoir à tous,
Je me permets de rédiger ce post car j'aurai besoin de votre aide sur un exercice de maths de sup PCSI sur lequel je reste bloqué.
L'énoncé est le suivant : (x appartenant à R)

Résoudre partie entière de (2x-3) = partie entière de (x+1)

J'ai donc commencé par enlever les constantes des parties entière puis j'ai simplifié, ce qui me donne :

Partie entière de (2x) - partie entière de (x) = 4

Je reste bloqué à cette ligne, je sais que l'on peut encadrer partie entière de x ainsi: x-1 < partie entière de x <= x
Cependant je ne sais pas comment appliquer cette encadrement à mon égalité ou s'il y a une autre solution.
Merci d'avance pour votre aide.

Respectueusement,

Jufi.

[JeanN]

Ah, c'est rigolo cette équation.
Déjà, raisonne par analyse synthèse.
Analyse :
soit x une solution de l'équation.
Pose y=x- PE(x) regarde ce qui se passe en remplaçant x par PE(x)+y.
Tu devrais pouvoir démontrer que x appartient à un certain intervalle.
Il te restera à rédiger la phase de synthèse.

[Jufi]

Merci pour votre aide, mais je ne comprend pas trop pourquoi remplacer x par PE(x) + y peut m'aider car cela me donne une partie entière dans une partie entière ce qui complique la chose non ?
Cela me donne PE(2*PE(x) + 2y) - PE(PE(x)+y) = 4
Je pense que je n'ai pas vraiment compris la méthode que vous m'expliquez car l'égalité transformé me semble plus complexe à résoudre...

[Hibiscus]

A ton avis, vu la définition de y, sa partie entière ça serait combien ? Est ce que ça ne simplifierait pas beaucoup de termes ?

SPOILER:

En plus, à partir de ce que tu avais écrit au début, tu as déjà la réponse, (sans la démontrer).
Ça se voit que 4 ça marche. Est ce qu'en dessous ça marche ? Est ce qu'au dessus ça marche ? Jusqu'où ?..

[JeanN]

Merci pour votre aide, mais je ne comprend pas trop pourquoi remplacer x par PE(x) + y peut m'aider car cela me donne une partie entière dans une partie entière ce qui complique la chose non ?
Cela me donne PE(2*PE(x) + 2y) - PE(PE(x)+y) = 4
Je pense que je n'ai pas vraiment compris la méthode que vous m'expliquez car l'égalité transformé me semble plus complexe à résoudre...

Tu devrais savoir et exploiter ici que PE(a+b)=PE(a)+b dès que b est un entier.

[Jufi]

Re-bonjour,
J'ai avancé, en remplaçant x par PE(x) + y les calculs de simplifient et je tombe sur PE(x) = 4 et j'ai ensuite dis que:
PE(x) <= x < PE(x) + 1 donc 4 <= x < 5.

Cependant pour la synthèse je trouve qu'à partir de x=2,5 l'égalité n'est plus vérifiée et je ne vois pas comment m'en sortir ici, auriez vous un indice afin de m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance.

[JeanN]

Tu as malencontreusement remplacé PE(2y) par zéro alors que cette dernière peut valoir 1.
Reprends ta phase d’analyse

[Pilzenbir]

Voici une autre approche qui me semble plus naturelle, par encadrement :

SPOILER:

Analyse. Soit $ x \in \mathbb{R} $ une solution de $ (E) $. On a :
$ E(x) \leq x <E(x)+1 \Leftrightarrow -E(x)-1<-x \leq -E(x) $

et : $ E(2x) \leq 2x <E(2x)+1 $

En sommant, on obtient :
$ E(2x)-E(x)-1<2x-x <E(2x)+1-E(x) $

Comme $ x $ est solution de l'équation, on a $ E(2x)-E(x)=4 $ d'où : $ 3<x<5 $.

Synthèse. On a :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x\in&]3,3.5[&[3.5,4[&[4,4.5[&[4.5,5[ \\
\hline
2x\in&]6,7[&[7,8[&[8,9[&[9,10[ \\
\hline
E(x)&3&3&4&4 \\
\hline
E(2x)&6&7&8&9 \\
\hline
E(2x)-E(x)&3&4&4&5 \\
\hline
\end{array} $

L'intervalle solution est $ [3.5,4.5[ $