topologie et matrices

[Syl20]

Comme ça d'utile à retenir je vois :
-l'existence d'une norme d'algèbre
-la densité de GLn(K) dans Mn(K)
-la continuité du déterminant et du produit matriciel
-eventuellement, la compacité de On(K)
Plus d'éventuels résultats de réduction qui me sont inconnus

[Sylve]

Des choses qui peuvent être utiles et que j'ai découvert ce week-end :

- L'application de GLn(K) vers GLn(K) qui à une matrice associe son inverse est continue. Et l'application qui à une matrice associe son polynome caractéristique est continue (deux conséquences de ce que tu as dit). En revanche pas le cas pour le polynôme minimal (contre-exemple ?)

- L'adhérence des matrices symétriques définies positives est l'ensemble des matrices symétriques positives.

- L'intérieur de Sn+(R) est Sn++(R) pour la topologie induite sur Sn(R).

- L'ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C) est dense dans Mn(C) ; et l'adhérence de l'ensemble des matrices diagonalisables de R est l'ensemble des matrices trigonalisables de R (qui est au passage un fermé).

Bon pas sûr que ça soit extrêmement utile non plus, mais y a des méthodes de démo dedans pas inintéressantes.

Y en a d'autres que j'ai pas cité, mais de ce que j'ai vu y a plein de résultats cools de ce genre sur les matrices !

[noro]

- L'application de GLn(K) vers GLn(K) qui à une matrice associe son inverse est continue. Et l'application qui à une matrice associe son polynôme caractéristique est continue (deux conséquences de ce que tu as dit). En revanche pas le cas pour le polynôme minimal (contre-exemple ?)

Un contre exemple : la matrice
[1 1/n]
[0 1 ]
a pour polynôme minimal (X-1)*(X-1) pour tout n, mais en faisant tendre n vers l'infini on obtient l'identité qui a X-1 pour polynôme caractéristique.