Comme ça d'utile à retenir je vois :
-l'existence d'une norme d'algèbre
-la densité de GLn(K) dans Mn(K)
-la continuité du déterminant et du produit matriciel
-eventuellement, la compacité de On(K)
Plus d'éventuels résultats de réduction qui me sont inconnus
topologie et matrices
Re: topologie et matrices
2016-2018 : Louis-le-Grand MPSI-MP*
X2018
X2018
Re: topologie et matrices
Des choses qui peuvent être utiles et que j'ai découvert ce week-end :
- L'application de GLn(K) vers GLn(K) qui à une matrice associe son inverse est continue. Et l'application qui à une matrice associe son polynome caractéristique est continue (deux conséquences de ce que tu as dit). En revanche pas le cas pour le polynôme minimal (contre-exemple ?)
- L'adhérence des matrices symétriques définies positives est l'ensemble des matrices symétriques positives.
- L'intérieur de Sn+(R) est Sn++(R) pour la topologie induite sur Sn(R).
- L'ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C) est dense dans Mn(C) ; et l'adhérence de l'ensemble des matrices diagonalisables de R est l'ensemble des matrices trigonalisables de R (qui est au passage un fermé).
Bon pas sûr que ça soit extrêmement utile non plus, mais y a des méthodes de démo dedans pas inintéressantes.
Y en a d'autres que j'ai pas cité, mais de ce que j'ai vu y a plein de résultats cools de ce genre sur les matrices !
- L'application de GLn(K) vers GLn(K) qui à une matrice associe son inverse est continue. Et l'application qui à une matrice associe son polynome caractéristique est continue (deux conséquences de ce que tu as dit). En revanche pas le cas pour le polynôme minimal (contre-exemple ?)
- L'adhérence des matrices symétriques définies positives est l'ensemble des matrices symétriques positives.
- L'intérieur de Sn+(R) est Sn++(R) pour la topologie induite sur Sn(R).
- L'ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C) est dense dans Mn(C) ; et l'adhérence de l'ensemble des matrices diagonalisables de R est l'ensemble des matrices trigonalisables de R (qui est au passage un fermé).
Bon pas sûr que ça soit extrêmement utile non plus, mais y a des méthodes de démo dedans pas inintéressantes.
Y en a d'autres que j'ai pas cité, mais de ce que j'ai vu y a plein de résultats cools de ce genre sur les matrices !
Re: topologie et matrices
Un contre exemple : la matriceSylve a écrit : ↑29 janv. 2018 18:05- L'application de GLn(K) vers GLn(K) qui à une matrice associe son inverse est continue. Et l'application qui à une matrice associe son polynôme caractéristique est continue (deux conséquences de ce que tu as dit). En revanche pas le cas pour le polynôme minimal (contre-exemple ?)
[1 1/n]
[0 1 ]
a pour polynôme minimal (X-1)*(X-1) pour tout n, mais en faisant tendre n vers l'infini on obtient l'identité qui a X-1 pour polynôme caractéristique.
Nothing happened.
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L3 Maths-Info
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