Equations fonctionelles

[Boushaba]

Bonsoir,Est ce qu'il y a des astuces à apprendre concernant les équations fonctionnelles?Par exemple pour trouver la solution d'une équation de ce type qui est dans ce cas est affine ?
ex:prouver que (pour h qui vérifie:h((x+y)/2) = (h(x) +h(y))*1/2 tq (x,y) sont des rélles,h est affine))
SVP,je veux un théorème général ou astuces valables partout.

[JeanN]

Non, il n'y a pas de tel théorème général ou astuces valables partout.
Par contre il y a une méthode générale de résolution de ce type de problème : le raisonnement par analyse - synthèse.

[oty20]

soutirer le maximum d'informations sur la fonction a partir l’équation

[BobbyJoe]

ça à l'air faux sans hypothèse de régularité sur \( \) $h$... Mais avec \( \)$h$ continue, je veux bien y croire ^^
Blague à part....

Sinon, les trucs à tester dans le cadre continu (si tu cherches des solutions continues), c'est de tester l'injectivité qui implique la monotonie, de calculer des valeurs en certains points, d'intégrer les relations et de faire des changements de variables pour gagner de la régularité pour pouvoir dériver....
Mais la première étape est de chercher des solutions simples régulières de l'équation... La dériver peut aider parfois...
Il faut aussi un petite bagage en analyse et bien connaitre la notion de densité (pour ton exemple, de convexité entre autres).

[Boushaba]

Merci ^^

[Leo11]

Mmh, sauf erreur il me semble que l'exemple de Boushaba (en rajoutant l'hypothèse de continuité) ne nécessite pas de connaissances en convexité

[BobbyJoe]

C'était juste pour faire référence à l'exercice suivant (qui est aussi classique). Soit \( \)$f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant \( \)$$\forall x,y \in [a,b],\mbox{ } f(\frac{x+y}{2})\leq \frac{f(x)+f(y)}{2}.$$ Montrer que $f$ est convexe.

Pour résoudre alors l'exercice précédent, on peut appliquer ce résultat (à $f$ et $-f$) et on utilise le fait que les seules fonctions convexes et concaves sont les applications affines. C'est amusant!

[alexMoo]

Pour f(x+y/2)=1/2(f(x)+f(y)) on procéde comme dans le cas type f(x+y)=f(x)+f(y)
En effet : on remarque que si f(0)=f(1)=0 donc f(-x)=-f(x) ( f impaire) et par récurrence f(n)=0 pour tout n dans N donc dans Z
on montre ensuite par récurrence que pour p entier relatif f(p/2^n)=0 pour tout n on en déduit par densité de {p/2^n /(n,p) dans R que f est nulle
maintenant il suffit de poser g(x)=f(x)-x*f(1)-f(0)*(1-x)=f(x)+(f(0)-f(1))x-f(0) cette fonction vérifie g(0)=g(1)=0 donc g=0 ainsi f(x)=ax+b/ a=f(0)-f(1) et b=-f(0) donc f affine

[oty20]

il faut avoir la continuité pour utiliser un argument de densité

[oty20]

C'était juste pour faire référence à l'exercice suivant (qui est aussi classique). Soit \( \)$f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant \( \)$$\forall x,y \in [a,b],\mbox{ } f(\frac{x+y}{2})\leq \frac{f(x)+f(y)}{2}.$$ Montrer que $f$ est convexe.

Pour résoudre alors l'exercice précédent, on peut appliquer ce résultat (à $f$ et $-f$) et on utilise le fait que les seules fonctions convexes et concaves sont les applications affines. C'est amusant!

avec l'inégalité seule comme condition , ne suffit pas pour prouver la convexité .

[BobbyJoe]

Juste parce que j'ai oublié \( \)$f$ continue, je vois....

[oty20]

on peut se limiter a f bornée comme seule hypothèse de plus

[BobbyJoe]

voire même \( \)$f$ localement intégrable suffit...