Besoin d'aide exercice
Besoin d'aide exercice
Bonjour à vous, j'ai travaillé tout le weekend sur un exercice que je n'arrive pas à finir et je me demandais si je pouvais avoir des pistes :
1) Soit f une fonction définie sur $ \mathbb{R}^{+*} $ par $ f(x)=x^x $ Quelle est la valeur minimale prise par f ?
2) Montrer que pour tout couple de réel strictement positif x, y : $ x^y + y^x>1 $
La première question n'étais pas dur : minimum pour $ x=e^{-1} $ car $ f(x)=e^{xln(x)} $ et il suffit de trouver le minimum de $ xln(x) $.
La seconde en revanche me cause plus de tort, j'ai réussi à faire ressortir l'égalité précédente de cette manière :
$ x^y+y^x=(\dfrac{y}{y}x)^y+(\dfrac{x}{x}y)^x=y^y\times(\dfrac{x}{y})^y+x^x\times(\dfrac{y}{x})^x $.
J'ai aussi utilisé deux cas pour montrer que soit $ x>y $ et du coup $ (\dfrac{x}{y})^y>1 $ et inversement si $ y>x $. En revanche, je n'ai pas réussi à conclure avec ça.
J'ai exploré beaucoup d'autres pistes mais aucune aboutit.... Auriez vous une piste à me proposer ? Je suis sur que je ne suis pas loin mais je ne vois pas comment conclure...
Merci d'avance.
1) Soit f une fonction définie sur $ \mathbb{R}^{+*} $ par $ f(x)=x^x $ Quelle est la valeur minimale prise par f ?
2) Montrer que pour tout couple de réel strictement positif x, y : $ x^y + y^x>1 $
La première question n'étais pas dur : minimum pour $ x=e^{-1} $ car $ f(x)=e^{xln(x)} $ et il suffit de trouver le minimum de $ xln(x) $.
La seconde en revanche me cause plus de tort, j'ai réussi à faire ressortir l'égalité précédente de cette manière :
$ x^y+y^x=(\dfrac{y}{y}x)^y+(\dfrac{x}{x}y)^x=y^y\times(\dfrac{x}{y})^y+x^x\times(\dfrac{y}{x})^x $.
J'ai aussi utilisé deux cas pour montrer que soit $ x>y $ et du coup $ (\dfrac{x}{y})^y>1 $ et inversement si $ y>x $. En revanche, je n'ai pas réussi à conclure avec ça.
J'ai exploré beaucoup d'autres pistes mais aucune aboutit.... Auriez vous une piste à me proposer ? Je suis sur que je ne suis pas loin mais je ne vois pas comment conclure...
Merci d'avance.
Lycée Édouard Branly 2015-2018
LLG HX1 2018-2019
LLG MP*3 2019-2020
Ulm 2020-?
LLG HX1 2018-2019
LLG MP*3 2019-2020
Ulm 2020-?
Re: Besoin d'aide exercice
Ton idée de séparer les cas x<y et x>y est bonne ! Je te conseille également de calculer la valeur du minimum trouvé à la question 1, et comme souvent dans un exercice à 2 questions, d'essayer de te ramener à la question 1
2016-2018 : Louis-le-Grand MPSI-MP*
X2018
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Re: Besoin d'aide exercice
La deuxième question est bien plus dure que la première.
J’ai rédigé une réponse il y a quelques années pour une correction de dm et ça m’a pris une vingtaine de feuilles de brouillons, trois ou quatre pages au propre et un nombre conséquents de tableaux de variations
Sur ce, bon courage!
J’ai rédigé une réponse il y a quelques années pour une correction de dm et ça m’a pris une vingtaine de feuilles de brouillons, trois ou quatre pages au propre et un nombre conséquents de tableaux de variations
Sur ce, bon courage!
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Besoin d'aide exercice
Merci pour vos réponses, je pense que je vais donc abandonner cette deuxième question, je verrai quand je serai en prépa mais là, je suis complètement bloqué...
Et ça me rassures, j'ai trouvé cet exo sur une banque d'exercice pour préparer le concours général et il est classé comme ... facile ! Je penses que je vais faire d'autres exercices plus "faciles" pour optimiser ma préparation.
Et ça me rassures, j'ai trouvé cet exo sur une banque d'exercice pour préparer le concours général et il est classé comme ... facile ! Je penses que je vais faire d'autres exercices plus "faciles" pour optimiser ma préparation.
Lycée Édouard Branly 2015-2018
LLG HX1 2018-2019
LLG MP*3 2019-2020
Ulm 2020-?
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Re: Besoin d'aide exercice
Alors bon, les exos du concours général, en fonction des exos en question tu peux assez facilement sécher, y compris des très bons élèves .... Bref, y a a boire et a manger dedans.
Re: Besoin d'aide exercice
Si tu veux une bonne indication, essaye de minorer ton expression par $ a*f(x) $ ou $ a*f(y) $, avec a à déterminer, en distinguant les cas x<y et x>y. C'est dur en niveau Terminale parce qu'on ne manipule pas beaucoup les inégalités au lycée :/
2016-2018 : Louis-le-Grand MPSI-MP*
X2018
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