Oral ULM : Limite d'une série entière

[Hadeo]

Bonjour à tous,

Je sollicite votre aide sur l'exercice d'oral suivant, sur lequel je bloque depuis un moment.

On veut calculer : $ \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n \in \mathbb{N}} (-1)^n x^{n^2} $
L'exercice ayant été donné en oral à un camarade (mais pas résolu...), l'examinateur aurait laissé savoir que cette limite vaut 1/2.

Merci pour votre temps

[Hadeo]

Salut,

Merci pour ta réponse.

L'égalité suivante est intéressante mais l'argument utilisant un produit de cauchy n'est pas valable en z=-1 (valeur qui nous intéresse ici).
$ g(X,z) = \sum_{n=0}^\infty A_n(X) z^n = \frac{1}{1-z} \sum_{n=0}^\infty X^{n^2} z^n $
où $ A_n(X)=\sum \limits_{i=0}^n X^{i^2} $

Je ne sais pas si l'étude de $ A_n(X) $ permettrait de répondre au problème.

[Kallio]

J'étais sur la même piste que Dattier sauf que j'ai $ f(x) = \displaystyle\sum_{p=0}^{+ \infty} (x^{4})^{p^{2}} - x\displaystyle\sum_{p=0}^{+ \infty}
(x^{4})^{p(p+1)} $ ...

Aussi, il me semble que $ g(x) $ est équivalent à $ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{(1-x)}} $ lorsque $ x \longrightarrow 1^{-} $.

On pourrait aussi écrire $ g(x) = \sqrt{h(x)} $ où $ h(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \alpha_{n}x^{n} $ et $ \alpha_{n} = card(\lbrace (p,q) \in \mathbb{N}^{2}, p^{2}+q^{2}=n \rbrace ) $

Bref, à part ça je n'ai pas la réponse haha je passais juste par là en me disant que ça pourrait vous servir.

[JeanN]

$ f(x)=\sum \limits_{n\in \mathbb N} (-1)^nx^{n^2}=\sum \limits_{n\in \mathbb N} (-x)^{n^2}=2\sum \limits_{n\in \mathbb N} x^{4n^2}-\sum \limits_{n\in \mathbb N} x^{n^2}=2g(x^4)-g(x) $

Par le théorème de comparaison série et intégrale :

$ \int_1^\infty \exp(t^2\ln(x))\text{d}t \leq g(x)=\sum \limits_{n\in \mathbb N} x^{n^2} \leq \int_0^\infty \exp(t^2\ln(x))\text{d}t $

C’est un encadrement un peu grossier à mon avis.
Personnellement, je m’en sors en effectuant une comparaison série intégrale pour contrôler la somme des x^(4p^2)-x^((2p+1)^2) mais c’est très vilain en termes de calculs !
Merci Maple
Pour info, j’arrive à f(x)=1/2 + O(sqrt(1-x))

[Hadeo]

Merci à tous pour vos réponses !

Grâce à la piste de JeanN, j'ai réussi à encadrer f(x) par deux quantités qui tendent vers 1/2.

En particulier :

$ \frac{1}{2\sqrt{-ln(x)}} \int_{-\sqrt{-ln(x)}}^0 \exp(-t^2)\text{d}t \leq $ f(x) $ \leq \frac{1}{2\sqrt{-ln(x)}} \int_{-2\sqrt{-ln(x)}}^{-\sqrt{-ln(x)}} \exp(-t^2)\text{d}t $

Les deux quantités tendent bien vers 1/2 pour x qui tend vers 1-
(Les bornes des intégrales et la longueur de l'intervalle d'intégration tendent vers 0, l'intégrande est continue. On encadre alors ces deux intégrales pour x en 1- et on conclut)

Merci encore