Fonctions à plusieurs variables

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Lucie87
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Fonctions à plusieurs variables

Message par Lucie87 » lun. déc. 18, 2017 2:36 am

Bonsoir,

Je cherche à exprimer le laplacien de f en fonction des coordonnées polaires telles que

X=rcos(thêta)
Y=rsin(theta)

Je trouve donc :

(Delta)g/(delta)r = cos(theta)*[(delta)f/(delta)x] + sin(theta)*[(delta)f/(delta)y]

(Delta)g/(delta)theta= -rsin(theta)*[(delta)f/(delta)x] + rcos(theta)*[(delta)f/(delta)y]

Mais je n’arrive pas à ISOLER (delta)f/(delta)x et (delta)f/(delta)y

Merci d’avance,
Cordialement

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Hibiscus
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Re: Fonctions à plusieurs variables

Message par Hibiscus » lun. déc. 18, 2017 9:13 am

Euh.. (Delta)machin /(delta)machin, je sais pas ce que c'est, déjà..
Appliquer l'opérateur laplacien à une fonction, c'est lui appliquer deux fois nabla. (en fait, par définition, c'est plutôt gradient puis divergence, mais bon..)

Ce qui donne \( \Delta f={\frac 1r}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac 1{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac 1{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}. \)

(En coordonées polaires, pas cylindriques, hein.)

Quand à la formule pour changer de système de coordonnées de manière générale, avec g la matrice de changement de coordonnées (métrique, en termes barbares)
\( \Delta f = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \partial_i\left( \sqrt{\det g} \; \sum_j g^{ij} \partial_j f \right) \) (ou \( \partial_i \) veut dire dérivée par rapport à la ième coordonnée, pour alléger..)
Lycée Masséna (Pcsi-PC*)
École polytechnique (X2015)
Université de Tokyo/Tohoku - Thèse (Astrophysique)

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