Bonsoir,
Je cherche à exprimer le laplacien de f en fonction des coordonnées polaires telles que
X=rcos(thêta)
Y=rsin(theta)
Je trouve donc :
(Delta)g/(delta)r = cos(theta)*[(delta)f/(delta)x] + sin(theta)*[(delta)f/(delta)y]
(Delta)g/(delta)theta= -rsin(theta)*[(delta)f/(delta)x] + rcos(theta)*[(delta)f/(delta)y]
Mais je n’arrive pas à ISOLER (delta)f/(delta)x et (delta)f/(delta)y
Merci d’avance,
Cordialement
Fonctions à plusieurs variables
Re: Fonctions à plusieurs variables
Euh.. (Delta)machin /(delta)machin, je sais pas ce que c'est, déjà..
Appliquer l'opérateur laplacien à une fonction, c'est lui appliquer deux fois nabla. (en fait, par définition, c'est plutôt gradient puis divergence, mais bon..)
Ce qui donne $ \Delta f={\frac 1r}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac 1{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac 1{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}. $
(En coordonées polaires, pas cylindriques, hein.)
Quand à la formule pour changer de système de coordonnées de manière générale, avec g la matrice de changement de coordonnées (métrique, en termes barbares)
$ \Delta f = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \partial_i\left( \sqrt{\det g} \; \sum_j g^{ij} \partial_j f \right) $ (ou $ \partial_i $ veut dire dérivée par rapport à la ième coordonnée, pour alléger..)
Appliquer l'opérateur laplacien à une fonction, c'est lui appliquer deux fois nabla. (en fait, par définition, c'est plutôt gradient puis divergence, mais bon..)
Ce qui donne $ \Delta f={\frac 1r}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac 1{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac 1{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}. $
(En coordonées polaires, pas cylindriques, hein.)
Quand à la formule pour changer de système de coordonnées de manière générale, avec g la matrice de changement de coordonnées (métrique, en termes barbares)
$ \Delta f = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \partial_i\left( \sqrt{\det g} \; \sum_j g^{ij} \partial_j f \right) $ (ou $ \partial_i $ veut dire dérivée par rapport à la ième coordonnée, pour alléger..)
Masséna (PC*) -- X15 -- Spatial.