suite convergente vers 0

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Walid2018
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suite convergente vers 0

Message par Walid2018 » jeu. déc. 21, 2017 12:26 pm

Soit \( (u_{n}) \) une suite réelle qui converge vers 0
Montrer qu'il existe une suite \( \varepsilon _{n} \) à valeurs dans {-1,1} telle que la série \( \sum _{n}\varepsilon _{n}u_{n} \) soit convergente

oty20
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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » jeu. déc. 21, 2017 5:32 pm

Bon , au premier tu peux t'arranger pour la rendre une somme telescopique
\( S_{n}=\sum_{k=0}^{n} e_{k}u_{k}=\sum_{k=0}^{n} (e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1})-e_{k+1}u_{k+1}=\sum_{k=0}^{n}(e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1}) -\sum_{k=1}^{n+1}e_{k}u_{k} \) donc
\( 2s_{n}=\sum_{k=0}^{n} (e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1})-e_{n+1}u_{n+1}+e_{0}u_{0} \) ,
tu prend une suite qui oscille \( e_{0}=1 , e_{1}=-1 \) ... \( e_{2k}=1 , e_{2k+1}=-1 \)
pour conclure il suffit de verifier que \( S_{2n} \) et \( S_{2n+1} \) tendent vers la même limite .
je te laisse le vérifier , si cela marche pas tu me le signale pour qu'on pense a autre chose...
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Almar
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Re: suite convergente vers 0

Message par Almar » jeu. déc. 21, 2017 9:46 pm

Ou sinon il suffit de choisir \( \varepsilon_n \) de sortes qu'on puisse appliquer le théorème sur les séries alternées.
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oty20
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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » jeu. déc. 21, 2017 9:58 pm

oui j'ai pensé a cela au début mais on a pas d'information sur la monotonie de la suite
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oty20
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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » jeu. déc. 21, 2017 10:02 pm

déjà on peut ramener le problème au cas ou (u_{n}) est positive , en effet on choisit \( e_{n}=a_{n}b_{n} \) tel que
\( b_{n}=signe(u_{n}) \) maintenant \( v_{n}=b_{n}u_{n} \to 0 \) et \( v_{n}\geq 0 \) il suffit de trouver \( a_{n}\in \{-1,1\} \) tel que \( \sum a_{n}v_{n} \) converge . bon pour le critére special on peut le forcer avec le lemme des piques mais cela complique le problème quand on voit qu'un télescopage peut être formé
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Re: suite convergente vers 0

Message par JeanN » jeu. déc. 21, 2017 10:46 pm

Walid2018 a écrit :
jeu. déc. 21, 2017 12:26 pm
Soit \( (u_{n}) \) une suite réelle qui converge vers 0
Montrer qu'il existe une suite \( \varepsilon _{n} \) à valeurs dans {-1,1} telle que la série \( \sum _{n}\varepsilon _{n}u_{n} \) soit convergente
Essaye de construire une suite de sommes partielles qui oscille autour de 0.
L'idée est la suivante : dès que S_n change de signe, tu change de direction en changeant de valeur de eps_n
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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » ven. déc. 22, 2017 12:05 am

Très jolie en gros si , S_{n} dépasse epsilon on ajoute de termes négatifs , si S_{n} se rapproche dangereusement de - epsilon on ajoute des termes positifs de sorte a garder les sommes partiels dans la bandes [-epsilon , +epsilon ] .
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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » ven. déc. 22, 2017 12:38 am

oty20 a écrit :
jeu. déc. 21, 2017 10:02 pm
déjà on peut ramener le problème au cas ou (u_{n}) est positive , en effet on choisit \( e_{n}=a_{n}b_{n} \) tel que
\( b_{n}=signe(u_{n}) \) maintenant \( v_{n}=b_{n}u_{n} \to 0 \) et \( v_{n}\geq 0 \) il suffit de trouver \( a_{n}\in \{-1,1\} \) tel que \( \sum a_{n}v_{n} \) converge . bon pour le critére special on peut le forcer avec le lemme des piques mais cela complique le problème quand on voit qu'un télescopage peut être formé
je viens de voir , comment finir a partir de ce chemin , comme (v_{n}) est positive et tend vers 0 , on dispose d'une bijection strictement croissante f de N vers N , tel que , v_{f(n)} tend vers 0 et (v_{f(n)}) est décroissante ,
maintenant
\( S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}v_{k}=\sum_{k=0}^{n} a_{f\circ f^{-1}(k)}v_{f\circ f^{-1}(k)}=\sum_{j=f^{-1}(0) }^{f^{-1}(n)}~~a_{f(j)}v_{f(j)} \) maintenant on peut choisir (a_{n}) de sorte a appliquer le critère spécial
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Re: suite convergente vers 0

Message par Lily1998 » ven. déc. 22, 2017 8:00 pm

En travaillant avec |Un|, une suite positive qui converge vers 0 est décroissante à partir d'un certain rang.

À partir de là, le résultat tombe par majoration et critère spécial.

Krik
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Re: suite convergente vers 0

Message par Krik » ven. déc. 22, 2017 8:34 pm

Lily1998 a écrit :
ven. déc. 22, 2017 8:00 pm
En travaillant avec |Un|, une suite positive qui converge vers 0 est décroissante à partir d'un certain rang.
Ben non. Contre exemple : prendre un terme sur deux 1/n et un terme sur deux 1/(n^2).

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Re: suite convergente vers 0

Message par Lily1998 » ven. déc. 22, 2017 9:55 pm

Effectivement, autant pour moi.

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Re: suite convergente vers 0

Message par Dattier » ven. déc. 29, 2017 6:06 pm

Salut,
JeanN a écrit :
jeu. déc. 21, 2017 10:46 pm
Essaye de construire une suite de sommes partielles qui oscille autour de 0.
L'idée est la suivante : dès que S_n change de signe, tu change de direction en changeant de valeur de eps_n
Non, cela ne marche pas forcément, prend par exemple \( u_n=2^{-2n} \) il est impossible de construire une suite dont la série associée tende vers 0.

Donc il est important de traiter le cas absolument convergent et semi-convergent à part.

Cordialement.
Les énigmes non encore résolues ici (les anciennes ici) : en ce moment -convexe intégrale

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Re: suite convergente vers 0

Message par JeanN » sam. déc. 30, 2017 2:28 pm

Mon algorithme fonctionne.
Dans le cas que tu présentes, on ne repassera jamais dans les négatifs donc ce sera zéro oscillation autour de 0
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Re: suite convergente vers 0

Message par Dattier » sam. déc. 30, 2017 8:06 pm

JeanN a écrit :
jeu. déc. 21, 2017 10:46 pm
Essaye de construire une suite de sommes partielles qui oscille autour de 0.
Effectivement, je n'avais pas fait attention à cette subtilité. Autant pour moi.
Les énigmes non encore résolues ici (les anciennes ici) : en ce moment -convexe intégrale

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