suite convergente vers 0

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Walid2018
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suite convergente vers 0

Message par Walid2018 » jeu. déc. 21, 2017 12:26 pm

Soit \( (u_{n}) \) une suite réelle qui converge vers 0
Montrer qu'il existe une suite \( \varepsilon _{n} \) à valeurs dans {-1,1} telle que la série \( \sum _{n}\varepsilon _{n}u_{n} \) soit convergente

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oty20
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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » jeu. déc. 21, 2017 5:32 pm

Bon , au premier tu peux t'arranger pour la rendre une somme telescopique
\( S_{n}=\sum_{k=0}^{n} e_{k}u_{k}=\sum_{k=0}^{n} (e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1})-e_{k+1}u_{k+1}=\sum_{k=0}^{n}(e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1}) -\sum_{k=1}^{n+1}e_{k}u_{k} \) donc
\( 2s_{n}=\sum_{k=0}^{n} (e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1})-e_{n+1}u_{n+1}+e_{0}u_{0} \) ,
tu prend une suite qui oscille \( e_{0}=1 , e_{1}=-1 \) ... \( e_{2k}=1 , e_{2k+1}=-1 \)
pour conclure il suffit de verifier que \( S_{2n} \) et \( S_{2n+1} \) tendent vers la même limite .
je te laisse le vérifier , si cela marche pas tu me le signale pour qu'on pense a autre chose...
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Re: suite convergente vers 0

Message par Almar » jeu. déc. 21, 2017 9:46 pm

Ou sinon il suffit de choisir \( \varepsilon_n \) de sortes qu'on puisse appliquer le théorème sur les séries alternées.
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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » jeu. déc. 21, 2017 9:58 pm

oui j'ai pensé a cela au début mais on a pas d'information sur la monotonie de la suite
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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » jeu. déc. 21, 2017 10:02 pm

déjà on peut ramener le problème au cas ou (u_{n}) est positive , en effet on choisit \( e_{n}=a_{n}b_{n} \) tel que
\( b_{n}=signe(u_{n}) \) maintenant \( v_{n}=b_{n}u_{n} \to 0 \) et \( v_{n}\geq 0 \) il suffit de trouver \( a_{n}\in \{-1,1\} \) tel que \( \sum a_{n}v_{n} \) converge . bon pour le critére special on peut le forcer avec le lemme des piques mais cela complique le problème quand on voit qu'un télescopage peut être formé
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Re: suite convergente vers 0

Message par JeanN » jeu. déc. 21, 2017 10:46 pm

Walid2018 a écrit :
jeu. déc. 21, 2017 12:26 pm
Soit \( (u_{n}) \) une suite réelle qui converge vers 0
Montrer qu'il existe une suite \( \varepsilon _{n} \) à valeurs dans {-1,1} telle que la série \( \sum _{n}\varepsilon _{n}u_{n} \) soit convergente
Essaye de construire une suite de sommes partielles qui oscille autour de 0.
L'idée est la suivante : dès que S_n change de signe, tu change de direction en changeant de valeur de eps_n
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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » ven. déc. 22, 2017 12:05 am

Très jolie en gros si , S_{n} dépasse epsilon on ajoute de termes négatifs , si S_{n} se rapproche dangereusement de - epsilon on ajoute des termes positifs de sorte a garder les sommes partiels dans la bandes [-epsilon , +epsilon ] .
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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » ven. déc. 22, 2017 12:38 am

oty20 a écrit :
jeu. déc. 21, 2017 10:02 pm
déjà on peut ramener le problème au cas ou (u_{n}) est positive , en effet on choisit \( e_{n}=a_{n}b_{n} \) tel que
\( b_{n}=signe(u_{n}) \) maintenant \( v_{n}=b_{n}u_{n} \to 0 \) et \( v_{n}\geq 0 \) il suffit de trouver \( a_{n}\in \{-1,1\} \) tel que \( \sum a_{n}v_{n} \) converge . bon pour le critére special on peut le forcer avec le lemme des piques mais cela complique le problème quand on voit qu'un télescopage peut être formé
je viens de voir , comment finir a partir de ce chemin , comme (v_{n}) est positive et tend vers 0 , on dispose d'une bijection strictement croissante f de N vers N , tel que , v_{f(n)} tend vers 0 et (v_{f(n)}) est décroissante ,
maintenant
\( S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}v_{k}=\sum_{k=0}^{n} a_{f\circ f^{-1}(k)}v_{f\circ f^{-1}(k)}=\sum_{j=f^{-1}(0) }^{f^{-1}(n)}~~a_{f(j)}v_{f(j)} \) maintenant on peut choisir (a_{n}) de sorte a appliquer le critère spécial
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Re: suite convergente vers 0

Message par Lily1998 » ven. déc. 22, 2017 8:00 pm

En travaillant avec |Un|, une suite positive qui converge vers 0 est décroissante à partir d'un certain rang.

À partir de là, le résultat tombe par majoration et critère spécial.

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Re: suite convergente vers 0

Message par Krik » ven. déc. 22, 2017 8:34 pm

Lily1998 a écrit :
ven. déc. 22, 2017 8:00 pm
En travaillant avec |Un|, une suite positive qui converge vers 0 est décroissante à partir d'un certain rang.
Ben non. Contre exemple : prendre un terme sur deux 1/n et un terme sur deux 1/(n^2).

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Re: suite convergente vers 0

Message par Lily1998 » ven. déc. 22, 2017 9:55 pm

Effectivement, autant pour moi.

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Re: suite convergente vers 0

Message par Dattier » ven. déc. 29, 2017 6:06 pm

Salut,
JeanN a écrit :
jeu. déc. 21, 2017 10:46 pm
Essaye de construire une suite de sommes partielles qui oscille autour de 0.
L'idée est la suivante : dès que S_n change de signe, tu change de direction en changeant de valeur de eps_n
Non, cela ne marche pas forcément, prend par exemple \( u_n=2^{-2n} \) il est impossible de construire une suite dont la série associée tende vers 0.

Donc il est important de traiter le cas absolument convergent et semi-convergent à part.

Cordialement.
Les énigmes non encore résolues ici (si vous voulez la solution de l'une d'elles faîtes le moi savoir) ; les nouvelles ici : la boîte à outil du collé

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Re: suite convergente vers 0

Message par JeanN » sam. déc. 30, 2017 2:28 pm

Mon algorithme fonctionne.
Dans le cas que tu présentes, on ne repassera jamais dans les négatifs donc ce sera zéro oscillation autour de 0
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Message par Dattier » sam. déc. 30, 2017 8:06 pm

JeanN a écrit :
jeu. déc. 21, 2017 10:46 pm
Essaye de construire une suite de sommes partielles qui oscille autour de 0.
Effectivement, je n'avais pas fait attention à cette subtilité. Autant pour moi.
Les énigmes non encore résolues ici (si vous voulez la solution de l'une d'elles faîtes le moi savoir) ; les nouvelles ici : la boîte à outil du collé

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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » mar. mars 20, 2018 1:19 pm

Bonjour , je suis récemment revenu a ce problème , voici ma démonstration (si elle est pas fausse) , je me suis basé sur l'idée de Mr jean qui est très intuitif :

IL suffit de traiter le cas ou \( (a_{n}) \) est a terme strictement positif ,

Construisons \( (e_{n}) \) on commence par \( e_{0}=1 \) comme \( a_{0} >0 \)
on pose \( S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k} \)
comme \( S_{0} >0 \) on ajoute des termes négatif \( e_{k}a_{k} \) , \( k\geq 1 \) i.e \( e_{k}=-1 \) . La maintenant deux cas se présente , si on peut ajouter des termes de la sorte indéfiniment , sans que \( S_{n} \) ne change de signe , alors pour tout \( n\geq 0 \) \( S_{n} > 0 \) comme \( (S_{n}) \) est décroissante et minoré elle converge . Ce qui permet de conclure . Sinon , on dipose de \( m_{1} \) tel que \( s_{m_{1}-1} >0 \) , et \( S_{m_{1}} >0 \) on ajoute maintenant des termes positifs \( e_{k}a_{k} \) \( k \geq m_{1} \) \( e_{k}=1 \) , par un argument similaire si le processus ne s’arrête pas , \( (S_{n})_{n\geq m_{1}} \) est croissante majoré par 0 , donc converge , ce qui permet de conclure , sinon on revient au premier cas , Dans le cas empirique , le processus ne s’arrête pas on un nombre fini d'étape , et par suite on dispose ainsi du suite d'entier \( (m_{k}) \) strictement croissante tel que \( S_{n} \) est de signe constant sur l'intervalle \( [m_{i},m_{i+1}] \) , et change de signe en passant d'un intervalle a un autre . On pose \( P=\{n\in \mathbb{N}
|S_{n} >0\} \) et \( N=\{n \in \mathbb{N} | S_{n} < 0 \} \) , comme la différence entre \( S_{n} \) et \( S_{n-1} \) les termes se resserrent de plus en plus quand n devient trop grand , ce qui incite a penser que \( S_{n} \) ve converger vers \( 0 \) ; Démontrons ce constat :
Comme \( a_{n} \to 0 \) , soit \( r >0 \) on dispose de \( n_{0} \) tel que: \( |a_{n}|< r \) pour \( n\geq n_{0} \) , par ailleurs on dispose de \( m_{N} \geq n_{0} \) tel que \( M=m_{N} \in P \) et \( M+1 \in N \) car le termes ne peuvent pas resté dans que dans \( P \) (le processus s’arrêterait en un nombre fini d'étape a ce moment la , ce qu'on a exclu ) , comme \( |S_{M}-S_{M+1}|=|e_{M}a_{M}|=|a_{M}|< r \) alors \( S_{M} \in [-r,r] \), a partir de ce rang les termes ne vont plus ressortir de \( [-r,r] \) car on change se sens de variation une fois que \( S_{n} \) frôle 0 par des termes suffisamment petit , En effet Soit \( n >M \) supposons par l'absurde que \( S_{n}>r \) dans ce cas \( S_{n-1} \) ne peut être négatif , d'ou \( S_{n-1} >0 \) ainsi on a ajouter un terme négatif pour obtenir \( S_{n} \) par suite \( S_{n-1} > S_{n} >r \) on réitérons ce raisonnement on aboutit a \( S_{M} >S_{M+1}...>S_{n-1} >S_{n} >r \) absurde , un raisonnement montre que \( S_{n}<-r \) est impossible .

finalement \( \forall n >M : |S_{n}|< r \) , ce qui permet de conclure . ouf !
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