suite convergente vers 0

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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suite convergente vers 0

Message par Walid2018 » 21 déc. 2017 11:26

Soit $ (u_{n}) $ une suite réelle qui converge vers 0
Montrer qu'il existe une suite $ \varepsilon _{n} $ à valeurs dans {-1,1} telle que la série $ \sum _{n}\varepsilon _{n}u_{n} $ soit convergente

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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » 21 déc. 2017 16:32

Bon , au premier tu peux t'arranger pour la rendre une somme telescopique
$ S_{n}=\sum_{k=0}^{n} e_{k}u_{k}=\sum_{k=0}^{n} (e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1})-e_{k+1}u_{k+1}=\sum_{k=0}^{n}(e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1}) -\sum_{k=1}^{n+1}e_{k}u_{k} $ donc
$ 2s_{n}=\sum_{k=0}^{n} (e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1})-e_{n+1}u_{n+1}+e_{0}u_{0} $ ,
tu prend une suite qui oscille $ e_{0}=1 , e_{1}=-1 $ ... $ e_{2k}=1 , e_{2k+1}=-1 $
pour conclure il suffit de verifier que $ S_{2n} $ et $ S_{2n+1} $ tendent vers la même limite .
je te laisse le vérifier , si cela marche pas tu me le signale pour qu'on pense a autre chose...
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Re: suite convergente vers 0

Message par Almar » 21 déc. 2017 20:46

Ou sinon il suffit de choisir $ \varepsilon_n $ de sortes qu'on puisse appliquer le théorème sur les séries alternées.
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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » 21 déc. 2017 20:58

oui j'ai pensé a cela au début mais on a pas d'information sur la monotonie de la suite
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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » 21 déc. 2017 21:02

déjà on peut ramener le problème au cas ou (u_{n}) est positive , en effet on choisit $ e_{n}=a_{n}b_{n} $ tel que
$ b_{n}=signe(u_{n}) $ maintenant $ v_{n}=b_{n}u_{n} \to 0 $ et $ v_{n}\geq 0 $ il suffit de trouver $ a_{n}\in \{-1,1\} $ tel que $ \sum a_{n}v_{n} $ converge . bon pour le critére special on peut le forcer avec le lemme des piques mais cela complique le problème quand on voit qu'un télescopage peut être formé
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Re: suite convergente vers 0

Message par JeanN » 21 déc. 2017 21:46

Walid2018 a écrit :
21 déc. 2017 11:26
Soit $ (u_{n}) $ une suite réelle qui converge vers 0
Montrer qu'il existe une suite $ \varepsilon _{n} $ à valeurs dans {-1,1} telle que la série $ \sum _{n}\varepsilon _{n}u_{n} $ soit convergente
Essaye de construire une suite de sommes partielles qui oscille autour de 0.
L'idée est la suivante : dès que S_n change de signe, tu change de direction en changeant de valeur de eps_n
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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » 21 déc. 2017 23:05

Très jolie en gros si , S_{n} dépasse epsilon on ajoute de termes négatifs , si S_{n} se rapproche dangereusement de - epsilon on ajoute des termes positifs de sorte a garder les sommes partiels dans la bandes [-epsilon , +epsilon ] .
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Re: suite convergente vers 0

Message par oty20 » 21 déc. 2017 23:38

oty20 a écrit :
21 déc. 2017 21:02
déjà on peut ramener le problème au cas ou (u_{n}) est positive , en effet on choisit $ e_{n}=a_{n}b_{n} $ tel que
$ b_{n}=signe(u_{n}) $ maintenant $ v_{n}=b_{n}u_{n} \to 0 $ et $ v_{n}\geq 0 $ il suffit de trouver $ a_{n}\in \{-1,1\} $ tel que $ \sum a_{n}v_{n} $ converge . bon pour le critére special on peut le forcer avec le lemme des piques mais cela complique le problème quand on voit qu'un télescopage peut être formé
je viens de voir , comment finir a partir de ce chemin , comme (v_{n}) est positive et tend vers 0 , on dispose d'une bijection strictement croissante f de N vers N , tel que , v_{f(n)} tend vers 0 et (v_{f(n)}) est décroissante ,
maintenant
$ S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}v_{k}=\sum_{k=0}^{n} a_{f\circ f^{-1}(k)}v_{f\circ f^{-1}(k)}=\sum_{j=f^{-1}(0) }^{f^{-1}(n)}~~a_{f(j)}v_{f(j)} $ maintenant on peut choisir (a_{n}) de sorte a appliquer le critère spécial
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Re: suite convergente vers 0

Message par Lily1998 » 22 déc. 2017 19:00

En travaillant avec |Un|, une suite positive qui converge vers 0 est décroissante à partir d'un certain rang.

À partir de là, le résultat tombe par majoration et critère spécial.

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Re: suite convergente vers 0

Message par Krik » 22 déc. 2017 19:34

Lily1998 a écrit :
22 déc. 2017 19:00
En travaillant avec |Un|, une suite positive qui converge vers 0 est décroissante à partir d'un certain rang.
Ben non. Contre exemple : prendre un terme sur deux 1/n et un terme sur deux 1/(n^2).

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