suite convergente vers 0
suite convergente vers 0
Soit $ (u_{n}) $ une suite réelle qui converge vers 0
Montrer qu'il existe une suite $ \varepsilon _{n} $ à valeurs dans {-1,1} telle que la série $ \sum _{n}\varepsilon _{n}u_{n} $ soit convergente
Montrer qu'il existe une suite $ \varepsilon _{n} $ à valeurs dans {-1,1} telle que la série $ \sum _{n}\varepsilon _{n}u_{n} $ soit convergente
Re: suite convergente vers 0
Bon , au premier tu peux t'arranger pour la rendre une somme telescopique
$ S_{n}=\sum_{k=0}^{n} e_{k}u_{k}=\sum_{k=0}^{n} (e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1})-e_{k+1}u_{k+1}=\sum_{k=0}^{n}(e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1}) -\sum_{k=1}^{n+1}e_{k}u_{k} $ donc
$ 2s_{n}=\sum_{k=0}^{n} (e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1})-e_{n+1}u_{n+1}+e_{0}u_{0} $ ,
tu prend une suite qui oscille $ e_{0}=1 , e_{1}=-1 $ ... $ e_{2k}=1 , e_{2k+1}=-1 $
pour conclure il suffit de verifier que $ S_{2n} $ et $ S_{2n+1} $ tendent vers la même limite .
je te laisse le vérifier , si cela marche pas tu me le signale pour qu'on pense a autre chose...
$ S_{n}=\sum_{k=0}^{n} e_{k}u_{k}=\sum_{k=0}^{n} (e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1})-e_{k+1}u_{k+1}=\sum_{k=0}^{n}(e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1}) -\sum_{k=1}^{n+1}e_{k}u_{k} $ donc
$ 2s_{n}=\sum_{k=0}^{n} (e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1})-e_{n+1}u_{n+1}+e_{0}u_{0} $ ,
tu prend une suite qui oscille $ e_{0}=1 , e_{1}=-1 $ ... $ e_{2k}=1 , e_{2k+1}=-1 $
pour conclure il suffit de verifier que $ S_{2n} $ et $ S_{2n+1} $ tendent vers la même limite .
je te laisse le vérifier , si cela marche pas tu me le signale pour qu'on pense a autre chose...
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: suite convergente vers 0
Ou sinon il suffit de choisir $ \varepsilon_n $ de sortes qu'on puisse appliquer le théorème sur les séries alternées.
2016-2017 : MPSI (Lycée Pierre de Fermat)
2017-2018 : MP*
2018-20XX : ENS de Lyon
2017-2018 : MP*
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Re: suite convergente vers 0
oui j'ai pensé a cela au début mais on a pas d'information sur la monotonie de la suite
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Re: suite convergente vers 0
déjà on peut ramener le problème au cas ou (u_{n}) est positive , en effet on choisit $ e_{n}=a_{n}b_{n} $ tel que
$ b_{n}=signe(u_{n}) $ maintenant $ v_{n}=b_{n}u_{n} \to 0 $ et $ v_{n}\geq 0 $ il suffit de trouver $ a_{n}\in \{-1,1\} $ tel que $ \sum a_{n}v_{n} $ converge . bon pour le critére special on peut le forcer avec le lemme des piques mais cela complique le problème quand on voit qu'un télescopage peut être formé
$ b_{n}=signe(u_{n}) $ maintenant $ v_{n}=b_{n}u_{n} \to 0 $ et $ v_{n}\geq 0 $ il suffit de trouver $ a_{n}\in \{-1,1\} $ tel que $ \sum a_{n}v_{n} $ converge . bon pour le critére special on peut le forcer avec le lemme des piques mais cela complique le problème quand on voit qu'un télescopage peut être formé
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Re: suite convergente vers 0
Essaye de construire une suite de sommes partielles qui oscille autour de 0.
L'idée est la suivante : dès que S_n change de signe, tu change de direction en changeant de valeur de eps_n
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: suite convergente vers 0
Très jolie en gros si , S_{n} dépasse epsilon on ajoute de termes négatifs , si S_{n} se rapproche dangereusement de - epsilon on ajoute des termes positifs de sorte a garder les sommes partiels dans la bandes [-epsilon , +epsilon ] .
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Re: suite convergente vers 0
je viens de voir , comment finir a partir de ce chemin , comme (v_{n}) est positive et tend vers 0 , on dispose d'une bijection strictement croissante f de N vers N , tel que , v_{f(n)} tend vers 0 et (v_{f(n)}) est décroissante ,oty20 a écrit : ↑21 déc. 2017 21:02déjà on peut ramener le problème au cas ou (u_{n}) est positive , en effet on choisit $ e_{n}=a_{n}b_{n} $ tel que
$ b_{n}=signe(u_{n}) $ maintenant $ v_{n}=b_{n}u_{n} \to 0 $ et $ v_{n}\geq 0 $ il suffit de trouver $ a_{n}\in \{-1,1\} $ tel que $ \sum a_{n}v_{n} $ converge . bon pour le critére special on peut le forcer avec le lemme des piques mais cela complique le problème quand on voit qu'un télescopage peut être formé
maintenant
$ S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}v_{k}=\sum_{k=0}^{n} a_{f\circ f^{-1}(k)}v_{f\circ f^{-1}(k)}=\sum_{j=f^{-1}(0) }^{f^{-1}(n)}~~a_{f(j)}v_{f(j)} $ maintenant on peut choisir (a_{n}) de sorte a appliquer le critère spécial
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Re: suite convergente vers 0
En travaillant avec |Un|, une suite positive qui converge vers 0 est décroissante à partir d'un certain rang.
À partir de là, le résultat tombe par majoration et critère spécial.
À partir de là, le résultat tombe par majoration et critère spécial.