Cardinalité et ℝ^ℝ

[Benjamain]

Bonsoir,
À la fin d'un chapitre où on a rapidement commencé à parler ensembles et cardinal, mon prof a évoqué Cantor et l'hypothèse du continu.
ne poste donc pas pour un "problème de cours" mais car depuis je me pose la question de la cardinalité de ℝ^ℝ. Excusez moi si c'est totalement naïf mais bien qu'il semble évident que ℝ^ℝ a un cardinal supérieur à celui de R, je ne vois pas d'identification évidente à celui de P(ℝ). Peut être que quelque chose m'échappe mais je ne trouve aucune discussion là dessus sur internet donc j'espérais que vous pourriez m'aider !

[Hibiscus]

Ça se prouve avec un peu d'arithmétique. (je veux bien essayer, même si j'ai arrêté les maths depuis un moment....)

Si κ et λ sont des cardinaux non nuls, et que l'un d'entre eux est infini, κ+λ=κλ=max{κ,λ}κ+λ=κλ=max{κ,λ}.

Et en particulier, l'exponentiation $ (κλ)^ν=κ^{(λν)} $

Le cardinal du set de l'ensemble des fonctions réelles est donc
$ |R|^{|R|} =c^c=(2^{ℵ_0} )^{2^{ℵ_0}} =2^{(ℵ_0 2^{ℵ_0})} =2^{(2^{ℵ_0} )} =2^c $
En d'autres termes, le même que celui du power set.

Schroder-Bernstein avec P(R) marche aussi, dans le cas pas nécessairement continu (ce dernier est plus technique)

Tu peux aller encore plus loin, avec des arguments supplémentaires..

[Benjamain]

C'est assez limpide comme ça. Est-ce qu'on peut exhiber une bijection entre les deux ?
Je vais chercher pour P(R) avec Schroder-Bernstein, merci beaucoup !

[Osvatski]

Dattier, peut-tu expliquer ces égalités stp ? ^^