Suite convergente

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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Bignac
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Suite convergente

Message par Bignac » sam. déc. 30, 2017 5:12 pm

Bonjour à toutes et tous !

Je suis en grosse galère sur un exo de TD (MPSI) sur les suites, mais ça fait un moment qu'on a dépassé le chapitre donc pas moyen de poser des questions à mon professeur. Voilà l'énoncé :

On prend une suite telle que \( \forall n \in \mathbb{N} \) :
\( u_{n}\ > 0 \)
\( u_{n+2}\ \leq \frac{1}{2}\ \times (u_{n+1}\ + u_{n}) \)

J'ai essayé de procéder par tâtonnement pour trouver une suite convergente vers 0 que j'aurais pu montrer par récurrence, mais je n'arrive pas à trouver une formule "propre" ...

Vous auriez des idées d'autres pistes ?

Merci d'avance !
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bullquies
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Re: Suite convergente

Message par bullquies » sam. déc. 30, 2017 5:24 pm

Bonjour

1. tu peux toujours poser des questions au prof
2. il n'y a pas de questions ici
ingé

Bignac
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Re: Suite convergente

Message par Bignac » sam. déc. 30, 2017 5:36 pm

Je n'arrive pas à formuler une question plus précise sans rentrer dans des calculs un peu lourds ...

Merci pour la réponse !
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Tsukhie
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Re: Suite convergente

Message par Tsukhie » sam. déc. 30, 2017 5:49 pm

Quelle est la question?
Est-ce qu'une telle suite peut être définie? Est-ce qu'une telle suite converge vers quelque chose?
Tu nous as juste dit qu'on prenait une suite définie de cette manière-là. Certes, mais qu'en fait-on? Que cherche-t'on à savoir?

Antoine-
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Re: Suite convergente

Message par Antoine- » sam. déc. 30, 2017 6:04 pm

Il s'agit probablement d'étudier une telle suite, et donc de montrer si elle converge ou non (mais je suis d'accord, la question est très mal posée) ...

Quoi qu'il en soit, tu peux considérer la suite \( (v_n) \) définie pour tout \( n \in \mathbb{N}^{*} \) par \( v_n = max(u_n , u_{n-1}) \). On peut alors montrer que cette suite converge vers une limite \( l \geq 0 \) (car décroissante et minorée par \( 0 \)). Reste alors à montrer que \( (u_n) \) converge aussi vers \( l \) (ce qui pourrait peut-être se faire par l'absurde).

Edit : pas besoin de raisonnement par l'absurde. Comme \( (u_n) \) est bornée, il suffit de montrer qu'elle possède une unique valeur d'adhérence (qui est égale à \( l \)). On peut ensuite conclure.
Modifié en dernier par Antoine- le sam. déc. 30, 2017 6:58 pm, modifié 1 fois.
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BobbyJoe
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Re: Suite convergente

Message par BobbyJoe » sam. déc. 30, 2017 6:40 pm

Il y a moults façons de procéder....
1) Trouver une solution fondamentale de la récurrence linaire i.e. trouver une suite \( \)$v$ telle que \( \)$v_{n+2}-\frac{1}{2}(v_{n+1}+v_{n})=\delta_{0,n}$ où \( \)$(\delta_{0,n})_{n\geq 0}$ est la suite indicatrice du singleton $0.$
En convolant, tu trouves alors toutes les solutions de l'inéquation linéaire.
2) Tu peux remarquer alors que la suite \( \)$(u_{n+1}+\frac{1}{2}u_{n})_{n\geq 0}$ est décroissante et minorée donc converge vers $a$.
Il faut alors montrer que la suite $u$ est bornée.
Il est alors possible en utilisant la définition de la limite de montrer que \( \)$u$ converge.
Il s'agit de reconnaître une suite arithmético-géométrique perturbée (on recherche le point fixe \( \)$l$ qui est relié avec \( \)$a$ à la limite potentielle de \( \)$u$).
On procède alors par récurrence pour montrer que \( \)$u$ converge vers sa limite potentielle.

L'exercice "général" est le suivant :
Soit \( \)$u$ une suite bornée. Soit \( \)$a$ tel que $\vert a \vert <1$ et \( \)$b$ un entier tel que \( \)$b\geq 2.$ On suppose que \( \)$(u_{n}+au_{bn})_{n\geq 0}$ est convergente. Montrer que \( \)$u$ est convergente. Avec construction d'un contre-exemple en bonus si \( \)$u$ n'est plus supposée bornée!!!

Bignac
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Re: Suite convergente

Message par Bignac » sam. déc. 30, 2017 7:31 pm

Excusez moi je viens de me rendre compte que j'avais oublié une ligne ! Il faut montrer que la suite converge :)

Merci beaucoup pour les indications, j'ai compris la méthode qu'il faut utiliser, maintenant je me souviens l'avoir déjà utilisée sous une autre forme.

Un grand merci à tous et toutes !
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