Cartan Dieudonné.

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Répondre
Avatar du membre
Bidoof
Messages : 206
Enregistré le : mar. déc. 29, 2015 1:54 pm
Classe : MP

Cartan Dieudonné.

Message par Bidoof » lun. janv. 01, 2018 6:34 pm

Salut à tous.

Ici : http://florian.bouguet.free.fr/doc/deve ... udonne.pdf

Je cherche à comprendre pourquoi \( s(f(x_{0}))=x_{0} \)

Pouvez vous me débloquer s'il vous plaît.
2015-2016 : MPSI
2016-2017 : MP Info (non admissible ENS -15 places)
2017-2018 : MP Info 5/2

Avatar du membre
Siméon
Messages : 418
Enregistré le : mer. août 12, 2015 3:48 pm

Re: Cartan Dieudonné.

Message par Siméon » mar. janv. 02, 2018 6:02 pm

Salut Bidoof,

Je te conseille de faire un dessin : il s'agit essentiellement de trouver l'axe de symétrie d'un triangle isocèle.

Les vecteurs \( x=x_0 \) et \( y = f(x_0) \) sont de même norme, donc \( x + y \) et \( x - y \) sont orthogonaux.
Donc \( s(x-y) = y-x \) et \( s(x+y)=x+y \) par définition de la réflexion.
Donc \( s(x) = y \) et \( s(y)=x \) par linéarité de \( s \).

Avatar du membre
Bidoof
Messages : 206
Enregistré le : mar. déc. 29, 2015 1:54 pm
Classe : MP

Re: Cartan Dieudonné.

Message par Bidoof » mer. janv. 03, 2018 6:59 pm

Merci pour le coup de main.

J'ai essayé de simplifier tout de même l'énoncé. Si on suppose qu'il existe un $x$ tel que $u(x)=x$ et j'aimerais montrer que $u$ s'écrit comme le produit d'au plus $n$ réflexions.
Pour l'hérédité d'une récurrence dans laquelle j'utilise que $T = vect(x)$ est stable par $u$ donc son orthogonal aussi (auto-adjoint).
J'aimerais faire cette étape à coup de matrice par bloc. On a $E = T \oplus T^\bot$ muni de la base $\{x\} \cup B'$.
J'ai $U = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & U'
\end{pmatrix}$ avec $U' = \prod_{i=1}^{p} R'_{i}, p < n$.
Enfin la réflexion sur T donc la matrice est $\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & I_{n-1}
\end{pmatrix} $

Maintenant j'essaye de conclure, je peux transformer les $R'_{i} \in M_{n-1}(\mathbb K)$ en réflexion de $E$ en posant $R_{i} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & R'_{i}
\end{pmatrix}$
2015-2016 : MPSI
2016-2017 : MP Info (non admissible ENS -15 places)
2017-2018 : MP Info 5/2

Avatar du membre
Siméon
Messages : 418
Enregistré le : mer. août 12, 2015 3:48 pm

Re: Cartan Dieudonné.

Message par Siméon » jeu. janv. 04, 2018 12:02 pm

Est-ce une question ? Si oui, peux-tu préciser à quel endroit tu es bloqué ?

Avatar du membre
Bidoof
Messages : 206
Enregistré le : mar. déc. 29, 2015 1:54 pm
Classe : MP

Re: Cartan Dieudonné.

Message par Bidoof » sam. janv. 06, 2018 10:42 am

J'aimerais conclure ma récurrence.
2015-2016 : MPSI
2016-2017 : MP Info (non admissible ENS -15 places)
2017-2018 : MP Info 5/2

Avatar du membre
Siméon
Messages : 418
Enregistré le : mer. août 12, 2015 3:48 pm

Re: Cartan Dieudonné.

Message par Siméon » sam. janv. 06, 2018 3:08 pm

Je ne comprends pas ton problème : ne remarques-tu pas que $U = R_1\times R_2\times \cdots \times R_p$ ?

Avatar du membre
Bidoof
Messages : 206
Enregistré le : mar. déc. 29, 2015 1:54 pm
Classe : MP

Re: Cartan Dieudonné.

Message par Bidoof » dim. janv. 07, 2018 12:04 pm

Oui mais j'aimerais un $p+1$.
Pourquoi ? Pour avoir la possibilité que $p=n$.
2015-2016 : MPSI
2016-2017 : MP Info (non admissible ENS -15 places)
2017-2018 : MP Info 5/2

Avatar du membre
Siméon
Messages : 418
Enregistré le : mer. août 12, 2015 3:48 pm

Re: Cartan Dieudonné.

Message par Siméon » dim. janv. 07, 2018 1:24 pm

Ceci contredirait la condition $p < n$ que tu as écrite plus haut !? Franchement, on ne comprend rien à ce que tu cherches à faire. Si tu veux de l'aide, il va falloir prendre le temps de clarifier ta question et de la rédiger de façon précise.

Avatar du membre
Bidoof
Messages : 206
Enregistré le : mar. déc. 29, 2015 1:54 pm
Classe : MP

Re: Cartan Dieudonné.

Message par Bidoof » dim. janv. 07, 2018 3:45 pm

D'accord.
2015-2016 : MPSI
2016-2017 : MP Info (non admissible ENS -15 places)
2017-2018 : MP Info 5/2

Répondre

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 6 invités