Cartan Dieudonné.

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Cartan Dieudonné.

Message par Bidoof » 01 janv. 2018 17:34

Salut à tous.

Ici : http://florian.bouguet.free.fr/doc/deve ... udonne.pdf

Je cherche à comprendre pourquoi $ s(f(x_{0}))=x_{0} $

Pouvez vous me débloquer s'il vous plaît.

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Re: Cartan Dieudonné.

Message par Siméon » 02 janv. 2018 17:02

Salut Bidoof,

Je te conseille de faire un dessin : il s'agit essentiellement de trouver l'axe de symétrie d'un triangle isocèle.

Les vecteurs $ x=x_0 $ et$ y = f(x_0) $ sont de même norme, donc $ x + y $ et $ x - y $ sont orthogonaux.
Donc $ s(x-y) = y-x $ et $ s(x+y)=x+y $ par définition de la réflexion.
Donc $ s(x) = y $ et $ s(y)=x $ par linéarité de $ s $.

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Re: Cartan Dieudonné.

Message par Bidoof » 03 janv. 2018 17:59

Merci pour le coup de main.

J'ai essayé de simplifier tout de même l'énoncé. Si on suppose qu'il existe un $x$ tel que $u(x)=x$ et j'aimerais montrer que $u$ s'écrit comme le produit d'au plus $n$ réflexions.
Pour l'hérédité d'une récurrence dans laquelle j'utilise que $T = vect(x)$ est stable par $u$ donc son orthogonal aussi (auto-adjoint).
J'aimerais faire cette étape à coup de matrice par bloc. On a $E = T \oplus T^\bot$ muni de la base $\{x\} \cup B'$.
J'ai $U = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & U'
\end{pmatrix}$ avec $U' = \prod_{i=1}^{p} R'_{i}, p < n$.
Enfin la réflexion sur T donc la matrice est $\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & I_{n-1}
\end{pmatrix} $

Maintenant j'essaye de conclure, je peux transformer les $R'_{i} \in M_{n-1}(\mathbb K)$ en réflexion de $E$ en posant $R_{i} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & R'_{i}
\end{pmatrix}$

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Re: Cartan Dieudonné.

Message par Siméon » 04 janv. 2018 11:02

Est-ce une question ? Si oui, peux-tu préciser à quel endroit tu es bloqué ?

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Re: Cartan Dieudonné.

Message par Bidoof » 06 janv. 2018 09:42

J'aimerais conclure ma récurrence.

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Re: Cartan Dieudonné.

Message par Siméon » 06 janv. 2018 14:08

Je ne comprends pas ton problème : ne remarques-tu pas que $U = R_1\times R_2\times \cdots \times R_p$ ?

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Re: Cartan Dieudonné.

Message par Bidoof » 07 janv. 2018 11:04

Oui mais j'aimerais un $p+1$.
Pourquoi ? Pour avoir la possibilité que $p=n$.

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Re: Cartan Dieudonné.

Message par Siméon » 07 janv. 2018 12:24

Ceci contredirait la condition $p < n$ que tu as écrite plus haut !? Franchement, on ne comprend rien à ce que tu cherches à faire. Si tu veux de l'aide, il va falloir prendre le temps de clarifier ta question et de la rédiger de façon précise.

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Re: Cartan Dieudonné.

Message par Bidoof » 07 janv. 2018 14:45

D'accord.

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