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Probabilités

Posté : jeu. janv. 11, 2018 10:24 pm
par Zeuphro
Bonsoir,

Je suis bloquée sur une question de DM.
Énoncé:
Dans une classe, les n élèves organisent un Noël canadien. Ils placent dans un sac les n noms sur un papier, puis prennent chacun un papier au hasard. On note pn la probabilité qu'aucun élève ne trouve son propre nom.

Montrer que : Pn = \( \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}/k! \)

Nous n'avons pas vu les probabilités encore, donc je ne sais pas par où commencer. Auriez-vous une première piste?

Merci de votre réponse !

Re: Probabilités

Posté : jeu. janv. 11, 2018 11:35 pm
par darklol
Salut, essaye de trouver une relation de récurrence pour \( p_n \) (ce n’est pas hyper facile à trouver, en général les énoncés traitant de ce problème très connu donnent plutôt directement la relation et demande de la démontrer par un argument de dénombrement).

Re: Probabilités

Posté : jeu. janv. 11, 2018 11:50 pm
par JeanN
Zeuphro a écrit :
jeu. janv. 11, 2018 10:24 pm
Bonsoir,

Je suis bloquée sur une question de DM.
Énoncé:
Dans une classe, les n élèves organisent un Noël canadien. Ils placent dans un sac les n noms sur un papier, puis prennent chacun un papier au hasard. On note pn la probabilité qu'aucun élève ne trouve son propre nom.

Montrer que : Pn = \( \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}/k! \)

Nous n'avons pas vu les probabilités encore, donc je ne sais pas par où commencer. Auriez-vous une première piste?

Merci de votre réponse !
Y a rien d'autre dans le DM qui pourrait être en lien avec cette question difficile ?

Re: Probabilités

Posté : ven. janv. 12, 2018 9:21 am
par Siméon
Zeuphro, tu peux exprimer simplement la probabilité de l'événement complémentaire avec la formule du crible.

Re: Probabilités

Posté : ven. janv. 12, 2018 11:13 pm
par Koppnayw
Ça doit être la probabilité d'obtenir un dérangement (permutation sans point fixe). Pour calculer ceci, tu peux utiliser la formule du crible comme indiqué ci-dessus, mais je trouve qu'il y a plus simple en formant une relation simple entre les nombres de dérangements pour n et n+1 et en calculant les coefficients à l'aide d'une série entière.

Edit : j'avais pas vu mais en gros ça devait être l'idée de darklol

Re: Probabilités

Posté : sam. janv. 13, 2018 11:54 pm
par Zeuphro
Bonsoir,

Effectivement dans une autre partie je dois demontrer la formule du crible, ce que je n'ai pas su faire non plus...
Il faut partir de la formule du cardinal de l'union de deux parties d'un ensemble fini mais après je ne sais pas..

Je suis en BCPST1 pour information ^^

Re: Probabilités

Posté : sam. janv. 13, 2018 11:59 pm
par Hibiscus
C'est une récurrence sur n (dont l'hérédité est un peu longue). Le cas n=2 correspond au cardinal de l'union de deux parties, effectivement.. Mais on part de n=1 (qui est trivial, certes).

(Je ne sais pas si les fonctions indicatrices sont au programme de bcpst, mais ça fait une preuve (beaucoup, beaucoup) plus courte).

Re: Probabilités

Posté : dim. janv. 14, 2018 12:32 am
par oty20
https://www.youtube.com/watch?v=qYAWjIVY7Zw je pense que ceci t'aidera , ce n'est pas rigoureux , mais c'est une très bonne représentation de ce qui ce passe