A²=0

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Walid2018
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A²=0

Message par Walid2018 » lun. janv. 15, 2018 5:22 am

Soit A∈Mn(R) vérifiant A^2=0.Montrer que ImA=KerA⇐⇒ A+tA ∈ GLn(R)
En supposant ImA=KerA, déjà on a n est paire, je prend un suplementaire du KerA, et une base orthonormé de cette decomposition ainsi A sera othogonalement semblable à \( \begin{pmatrix}
0 & B \\
0& 0
\end{pmatrix} \) mais je me bloque
pour la deuxieme implicaiton tous ce que je pense faire et d'utiliser le rang de A+tA mais en vain

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Osvatski
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Re: A²=0

Message par Osvatski » mer. janv. 17, 2018 11:45 pm

Pour la réciproque, je pense qu'il faut utiliser le fait que rg(A+B)<=rgA+rgB et donc n=rg(A+tA)<=2rg(A), ainsi n<=2(n-dimkerA), donc 2*dimker(A)<=n<=2rg(A), d'où dimkerA<=rg(A) et donc KerA C Im A et naturellement on a ImA C KerA car A²=0 , alors KerA=ImA
L'examinateur sort son portable de sa poche et le place à la verticale sur la table. Le portable tombe. Expliquer.

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Siméon
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Re: A²=0

Message par Siméon » sam. janv. 20, 2018 3:07 pm

Walid, quel intérêt de considérer une base orthonormale si tu n'écris pas aussi ${}^t A$ dans cette base ? Par ailleurs, quel est le rang de $B$ ? de ${}^t B$ ?

Colas
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Re: A²=0

Message par Colas » sam. janv. 20, 2018 5:26 pm

Dim E <= dim F donc E inclus dans F.... aie !

alexMoo
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Re: A²=0

Message par alexMoo » sam. janv. 20, 2018 9:58 pm

Si A**2=0 alors A semblable à une matrice par bloc de forme [[0,I],[0,0]] avec I=Identite de n/2 ( n pair comme t'as dis) donc A+tA est de rang n donc inversible

BobbyJoe
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Re: A²=0

Message par BobbyJoe » sam. janv. 20, 2018 10:30 pm

SI tu connais les relations \( \)$\mbox{Ker}(A^{*})=\mbox{Im}(A)^{\bot}$ et \( \)$\mbox{Im}(A^{*})=\mbox{Ker}(A)^{\bot},$ l'exercice se résout intrinsèquement...

Walid2018
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Re: A²=0

Message par Walid2018 » dim. janv. 21, 2018 11:27 pm

BobbyJoe a écrit :
sam. janv. 20, 2018 10:30 pm
SI tu connais les relations \( \)$\mbox{Ker}(A^{*})=\mbox{Im}(A)^{\bot}$ et \( \)$\mbox{Im}(A^{*})=\mbox{Ker}(A)^{\bot},$ l'exercice se résout intrinsèquement...
Peux-tu developper?
@Osvatski Merci beaucoup

BobbyJoe
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Re: A²=0

Message par BobbyJoe » lun. janv. 22, 2018 2:56 am

Une preuve un peu plus euclidienne...

-pour l'implication de gauche vers la droite :
On a alors que \( \)$\mbox{Ker}(A)$ est somme directe orthogonale de \( \)$\mbox{Ker}(A^{*})$. On peut alors conclure matriciellement ...

Mais c 'est plus drôle ainsi :
Soit \( \)$x$ un vecteur de \( \)$E$ tel que \( \)$(A+A^{*})x=0.$ On peut alors écrire que \( \)$x=y+z$ où \( \)$y$ et \( \)$z$ appartiennent respectivement à \( \)$\mbox{Ker}(A)$ et \( \)$\mbox{Ker}(A^{*})$. Il vient alors que \( \)$Az=-A^{*}y$ en composant par \( \)$A$, puis en prenant le produit scalaire par \( \)$y$ de l'expression ainsi obtenue (on utilise \( \)$A^{2}=0$), il vient \( \)$\|A^{*}(y)\|^{2}=0$ d'où \( \)$A^{*}(y)=0.$ Ainsi, $y$ est nul(car $y$ appartient à \( \)$\mbox{Ker}(A)\cap\mbox{Ker}(A^{*})$) et \( \)$z$ aussi. Ainsi, \( \)$A+A^{*}$ est injectif donc inversible puisque que l'on est en dimension finie.

***Remarque: Si tu veux conclure dans le cas général (de la dimension infinie), il faut de plus supposer que l'image de \( \)$A+A^{*}$ soit fermée (ce qui est le cas si \( \)$A$ est continu par exemple). Et dans ce cas, il faut montrer pour avoir la surjectivité de $A+A^{*}$ que :

si \( \)$y$ est tel que pour tout \( \)$x$ appartenant à \( \)$E$, \( \)$<y,(A+A^{*})(x)>=0$ alors \( \)$y=0.$

En effet, on écrit \( \)$y=u+v$ où \( \)$u$ et \( \)$v$ appartiennent respectivement à \( \)$\mbox{Ker}(A)$ et \( \)$\mbox{Ker}(A^{*}).$ On obtient alors que \( \)$<x,A^{*}(u)+A(v)>=0.$ D'où $A^{*}(u)=-A(v)$ d'où l'on tire (comme précédemment) que \( \)$A^{*}(u)=A(v)=0.$ Mais alors \( \)$y$ est nul et le tour est joué!

-pour l'implication de droite vers la gauche :
Il suffit de montrer que \( \)$\mbox{Ker}(A)\subset \mbox{Im}(A).$ Soit \( \)$x$ appartenant à \( \)$\mbox{Ker}(A)$, alors par inversibilité de \( \)$A+A^{*},$ il existe\( \) $u$ appartenant à \( \)$E$ tel que \( \)$x=(A+A^{*})(u).$ On a alors en composant cette relation par \( \)$A$ (et en utilisant que \( \)$A^{2}=0$), \( \)$AA^{*}(u)=0.$ Comme précédemment, cela implique que \( \)$A^{*}(u)=0.$ Et, on a bien que \( \)$x$ appartient à \( \)$\mbox{Im(A)}.$

Le hic, c'est qu'il n'existe pas beaucoup d'opérateurs nilpotents en dimension infinie ^^ :p

Walid2018
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Re: A²=0

Message par Walid2018 » lun. janv. 22, 2018 3:11 pm

Merci énormement

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