Complétion corps valué.
Complétion corps valué.
Salut à tous !
Pouvez vous me débloquer sur un exercice s'il vous plaît.
Énoncé : Soit $K$ un corps muni d'une valeur absolue.
Soit $C$ l'anneau des suites du Cauchy du corps $K$ et $I$ l'idéal de suites de $K$ qui converge vers $0$.
Je cherche à montrer que $C/I = K'$ est un corps muni de la même norme que $K$ (qu'on va prolonger) et que $K$ (confondu avec son image dans $K'$) est dense.
Preuve : Pour prolonger la norme on considère $ \bar{a} \in K', | \bar{a} | = \lim_{n \rightarrow +\infty} |a_{n}|$ (ça ne dépend pas du représentant).
- $K'$ est un corps
- $I$ un idéal de $C$ car Cauchy implique bornée entres autres.
- $K$ est dense : On fixe $\epsilon>0$ et un élément $ p\big((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\big) = x\in K'$. avec $(u_n)\in C$.
On trouve $N \in \mathbb{N}$ tel que pour $p,q\ge N$, $\ |u_p-u_q|\le\epsilon$. En particulier $\forall p \ge N, \ |u_{N} - u_{p}| \le \epsilon$ donc $\lim\limits_{p\rightarrow + \infty } |u_{N} - u_{p}| = |u_N-x| \le \epsilon$.
Au final on a montré qu'on pouvait trouver un élément de $K$ (identifier à une suite constante) arbitrairement proche d'un élément de $K'$ donc $K$ est dense dans $K'$.
- $K'$ est complet : Soit $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy de $K'$.
Comme $K$ est dense dans $K'$ alors $\forall n\in \mathbb{N},\ \exists b_{n} \in K ,\ |a_{n} - b_{n}| = \lim\limits_{p\rightarrow + \infty} |a_{n,p} -b_{n}| \le 2^{-n}$.
$|b_{q} - b_{q}| \le |a_{p,r} - a_{q,r}| + |a_{q,r} - b_{q}| + |b_{p} - a_{p,r}| $
Lorsque $r > N_{1}, |a_{q,r} - b_{q}| + |b_{p} - a_{p,r}| \le 2^{-p} + 2^{-q}$
Lorsque $p,q > N_{2}, 2^{-p} + 2^{-q} < \epsilon$ et plus de $|a_{p,r} - a_{q,r}| < \epsilon $ car $p,q > N_{\epsilon},\ \lim\limits_{r\rightarrow + \infty} |a_{p,r} -a_{q,r}| \le \epsilon $
Au final si on prend $p,q > \max(N_{2}, N_{\epsilon})$ et $r > N_{1}$ on a que $(b_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est dans $C$
Ensuite $(b_{n})_{n\in \mathbb N}$ est une suite d'élément de $K$ donc une suite de suite constante et cette suite de suite converge vers la suite $b$.
En effet ??? [Je bloque ici]
On peut écrire $ |a_{n} - b| \le 2^{-n} $ d'après ce qui précède.
Ce qui conclut.
Pouvez vous me débloquer sur un exercice s'il vous plaît.
Énoncé : Soit $K$ un corps muni d'une valeur absolue.
Soit $C$ l'anneau des suites du Cauchy du corps $K$ et $I$ l'idéal de suites de $K$ qui converge vers $0$.
Je cherche à montrer que $C/I = K'$ est un corps muni de la même norme que $K$ (qu'on va prolonger) et que $K$ (confondu avec son image dans $K'$) est dense.
Preuve : Pour prolonger la norme on considère $ \bar{a} \in K', | \bar{a} | = \lim_{n \rightarrow +\infty} |a_{n}|$ (ça ne dépend pas du représentant).
- $K'$ est un corps
- $I$ un idéal de $C$ car Cauchy implique bornée entres autres.
- $K$ est dense : On fixe $\epsilon>0$ et un élément $ p\big((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\big) = x\in K'$. avec $(u_n)\in C$.
On trouve $N \in \mathbb{N}$ tel que pour $p,q\ge N$, $\ |u_p-u_q|\le\epsilon$. En particulier $\forall p \ge N, \ |u_{N} - u_{p}| \le \epsilon$ donc $\lim\limits_{p\rightarrow + \infty } |u_{N} - u_{p}| = |u_N-x| \le \epsilon$.
Au final on a montré qu'on pouvait trouver un élément de $K$ (identifier à une suite constante) arbitrairement proche d'un élément de $K'$ donc $K$ est dense dans $K'$.
- $K'$ est complet : Soit $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy de $K'$.
Comme $K$ est dense dans $K'$ alors $\forall n\in \mathbb{N},\ \exists b_{n} \in K ,\ |a_{n} - b_{n}| = \lim\limits_{p\rightarrow + \infty} |a_{n,p} -b_{n}| \le 2^{-n}$.
$|b_{q} - b_{q}| \le |a_{p,r} - a_{q,r}| + |a_{q,r} - b_{q}| + |b_{p} - a_{p,r}| $
Lorsque $r > N_{1}, |a_{q,r} - b_{q}| + |b_{p} - a_{p,r}| \le 2^{-p} + 2^{-q}$
Lorsque $p,q > N_{2}, 2^{-p} + 2^{-q} < \epsilon$ et plus de $|a_{p,r} - a_{q,r}| < \epsilon $ car $p,q > N_{\epsilon},\ \lim\limits_{r\rightarrow + \infty} |a_{p,r} -a_{q,r}| \le \epsilon $
Au final si on prend $p,q > \max(N_{2}, N_{\epsilon})$ et $r > N_{1}$ on a que $(b_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est dans $C$
Ensuite $(b_{n})_{n\in \mathbb N}$ est une suite d'élément de $K$ donc une suite de suite constante et cette suite de suite converge vers la suite $b$.
En effet ??? [Je bloque ici]
On peut écrire $ |a_{n} - b| \le 2^{-n} $ d'après ce qui précède.
Ce qui conclut.
Re: Complétion corps valué.
Pour tout $ n \in \mathbb N,\
|b_n - b|_{K'} = \lim\limits_{p\to +\infty} |b_n - b_p|_K \leq \sup\limits_{p,q \geq n} |b_q - b_p|_K $. Or $b$ est de Cauchy ...
P.S. On peut montrer la complétude plus directement, sans passer par la densité :
Si $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ est de Cauchy dans $K'$, alors la suite $\ell = (a_{n,n})_{n\in\mathbb N}$ est de Cauchy dans $K$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}|a_n - \ell|_{K'} = 0$.
|b_n - b|_{K'} = \lim\limits_{p\to +\infty} |b_n - b_p|_K \leq \sup\limits_{p,q \geq n} |b_q - b_p|_K $. Or $b$ est de Cauchy ...
P.S. On peut montrer la complétude plus directement, sans passer par la densité :
Si $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ est de Cauchy dans $K'$, alors la suite $\ell = (a_{n,n})_{n\in\mathbb N}$ est de Cauchy dans $K$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}|a_n - \ell|_{K'} = 0$.
Re: Complétion corps valué.
Salut et merci.
C'est pour mon TIPE sur les corps p-adique .
C'est pour mon TIPE sur les corps p-adique .
Re: Complétion corps valué.
J'espère que tu parles du théorème d'Ostrowski? ^^
Re: Complétion corps valué.
Salut, c'est un joli théorème mais... J'étudie plutôt les équations p-adiques (Cf JP Serre - Arithmétique).
$ $
Au passage... Je me demande si je possède un autre corps $L$ complet, dans lequel $K$ est dense alors y a-t-il un isomorphisme de corps entre $L$ et $K'$ ?
$ $
Au passage... Je me demande si je possède un autre corps $L$ complet, dans lequel $K$ est dense alors y a-t-il un isomorphisme de corps entre $L$ et $K'$ ?
Re: Complétion corps valué.
il me semble avoir vue une épreuve de l'ensae , sur les corps p-adiques .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Complétion corps valué.
Au passage, voici un conseil/technique pour démontrer qu'un espace métrique est complet. Il nous a été donné par Yves Meyer en 1A à Cachan. Il vient de deux remarques:
Si vous n'êtes pas familier avec la notion d'espace métrique, remplacez E par un evn ou un corps muni d'une valeur absolu, et la distance entre deux éléments par la norme, ou la valeur absolu, de leur différence.
Pour montrer que $ K' $ est complet avec cette technique, on suppose sans perte de généralité que pour tout entier $ n $, $ \lvert a_{n+1}-a_{n}\rvert_{K'}\leq \frac{1}{2^n} $. Et pour tout $ n $, on choisit un représentant de $ a_n $ dans $ C $ vérifiant $ \lvert a_{n,k+1}-a_{n,k}\rvert\leq\frac{1}{2^k} $ (il suffit de montrer qu'une sous-suite d'une suite dans $ C $ est dans la même classe d'équivalence que la suite elle-même).
- Si E est un espace métrique (non forcément complet), toute suite de Cauchy qui admet une sous-suite convergente converge.
- De toute suite de Cauchy $ u $ à valeurs dans E, on peut extraire une sous-suite $ v=(u_{n_k})_{k\in\mathbb{N}} $ tel que pour tout entier $ k $, on a $ \mathrm{dist}(v_{k},v_{k+1})\leq \frac{1}{2^k} $.
Si vous n'êtes pas familier avec la notion d'espace métrique, remplacez E par un evn ou un corps muni d'une valeur absolu, et la distance entre deux éléments par la norme, ou la valeur absolu, de leur différence.
Pour montrer que $ K' $ est complet avec cette technique, on suppose sans perte de généralité que pour tout entier $ n $, $ \lvert a_{n+1}-a_{n}\rvert_{K'}\leq \frac{1}{2^n} $. Et pour tout $ n $, on choisit un représentant de $ a_n $ dans $ C $ vérifiant $ \lvert a_{n,k+1}-a_{n,k}\rvert\leq\frac{1}{2^k} $ (il suffit de montrer qu'une sous-suite d'une suite dans $ C $ est dans la même classe d'équivalence que la suite elle-même).
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Re: Complétion corps valué.
Je pense qu'on prouve l'unicité d'un corps valué ici : http://math.univ-bpclermont.fr/~diarra/coursDEA.pdf page 3
Mais je comprend pas sa démo. J'ai l'impression qu'il utilise des choses que je connais pas.
Mais je comprend pas sa démo. J'ai l'impression qu'il utilise des choses que je connais pas.
Re: Complétion corps valué.
Supposez que $ L $ est un corps valué complet. Supposez que vous avez $ i\colon K\to L $ un morphisme de corps et une isométrie, et $ i(K) $ dense dans $ L $. Vous devez
Vous n'avez jamais besoin d'utiliser la construction de $ \hat{K} $, seulement ses propriétés: corps valué, complet, K dense dans $\hat{K}$, et la valeur absolue de $\hat{K}$ prolonge la valeur absolue de $K$.
EDIT: syntaxe
- Montrer qu'un prolongement continue $ \tilde{\imath} $ de $ i $ à $ \hat{K} $ est forcément unique (c'est vrai pour les espaces métriques, la structure de corps n'intervient pas, l'hypothèse $i(K)$ dense dans $L$ n'intervient pas).
- Montrer que ce prolongement existe quand $i$ est une isométrie (encore une fois vrai pour les espaces métriques, l'hypothèse $i(K)$ dense dans $L$ n'intervient pas, l'hypothèse isométrie peut être remplacé par lipshitzienne).
- Montrer que ce prolongement est surjectif(encore une fois vrai pour les espaces métriques, il faut utiliser l'hypothèse $i(K)$ dense dans $L$).
- Montrer que ce prolongement est un isomophisme de corps.
Vous n'avez jamais besoin d'utiliser la construction de $ \hat{K} $, seulement ses propriétés: corps valué, complet, K dense dans $\hat{K}$, et la valeur absolue de $\hat{K}$ prolonge la valeur absolue de $K$.
EDIT: syntaxe
Dernière modification par matmeca_mcf1 le 18 mars 2018 21:21, modifié 1 fois.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Re: Complétion corps valué.
Super merci ! J'ai réfléchi ça va marcher.
1) Supposons qu'il existe deux prolongement continue de $i$ à $\hat{K}$ disons $i_{1}$ et $i_{2}$ alors ces fonctions continues coïncident sur une partie dense de $\hat{K}$, elles sont donc les mêmes sur $\hat{K}$.
2) Supposons que $i$ est une isométrie de $K$ dans $L$.
Par un résultat classique (dont je donne pas les hypothèses) il existe un prolongement uniformément continue de $i$ noté $\hat{i}$ sur $\hat{K}$ dans $L$. Et si on se souviens de la preuve de ce résultat on a même que $\hat{i}(x) = lim_{n \rightarrow + \infty} (i(x_{n}))$ avec $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de $K$ qui converge vers $x$ (densité oblige).
Avec ce rappel, il est clair que $\hat{i}$ est une isométrie car $d$ est continue.
3) Montrons que ce prolongement est surjectif. Soit $l$ dans $L$ alors comme $i(K)$ est dense dans $L$ il existe une suite de $K$ notée $(l_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ tel que $(i(l_{n}))_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $l$. Or $i$ est continue donc $(l_{n})_{n \in \mathbb{N}})$ converge vers $z$ dans $L$.
Ainsi $\hat{i}(z)= l$
4) Montrons que ce prolongement est une isomorphisme de corps.
Comme $i$ est un morphisme de corps alors $\hat{i}$ l'est aussi.
Montrons que $\hat{i}$ est bijective en montrant qu'elle est injective mais c'est évident car $\hat{i}$ est une isométrie.
1) Supposons qu'il existe deux prolongement continue de $i$ à $\hat{K}$ disons $i_{1}$ et $i_{2}$ alors ces fonctions continues coïncident sur une partie dense de $\hat{K}$, elles sont donc les mêmes sur $\hat{K}$.
2) Supposons que $i$ est une isométrie de $K$ dans $L$.
Par un résultat classique (dont je donne pas les hypothèses) il existe un prolongement uniformément continue de $i$ noté $\hat{i}$ sur $\hat{K}$ dans $L$. Et si on se souviens de la preuve de ce résultat on a même que $\hat{i}(x) = lim_{n \rightarrow + \infty} (i(x_{n}))$ avec $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de $K$ qui converge vers $x$ (densité oblige).
Avec ce rappel, il est clair que $\hat{i}$ est une isométrie car $d$ est continue.
3) Montrons que ce prolongement est surjectif. Soit $l$ dans $L$ alors comme $i(K)$ est dense dans $L$ il existe une suite de $K$ notée $(l_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ tel que $(i(l_{n}))_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $l$. Or $i$ est continue donc $(l_{n})_{n \in \mathbb{N}})$ converge vers $z$ dans $L$.
Ainsi $\hat{i}(z)= l$
4) Montrons que ce prolongement est une isomorphisme de corps.
Comme $i$ est un morphisme de corps alors $\hat{i}$ l'est aussi.
Montrons que $\hat{i}$ est bijective en montrant qu'elle est injective mais c'est évident car $\hat{i}$ est une isométrie.
Dernière modification par Bidoof le 18 mars 2018 19:16, modifié 3 fois.