Complétion corps valué.

[Bidoof]

Maintenant je réfléchi à votre manière de montrer la complétude.

[matmeca_mcf1]

3) Montrons que ce prolongement est surjectif. Soit $l$ dans $L$ alors comme $i(K)$ est dense dans $L$ il existe une suite de $K$ notée $(l_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ tel que $(i(l_{n}))_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $L$. Or $i$ est continue donc $(l_{n})_{n \in \mathbb{N}})$ converge vers $z$ dans $L$.
Ainsi $\hat{i}(z)= l$

Continue ne suffit pas, vous avez besoin de $(i(l_n))_n$ converge donc de Cauchy, donc $(l_n)_n$ de Cauchy (ce dernier point utilise $i$ isométrie ou $i^{-1}$ uniformément continue).

Au passage, il y a une petite inexactitude dans la démo du polycopié que vous avez cité, page 3, pour montrer que $\hat{K}$ est de Cauchy, il suppose que les suites sont $(a_m(n))_{n\in\mathbb{N}}$ "uniformément" de Cauchy (le $m_\epsilon$ devrait dépendre de $n$ et de $q$). En particulier, si on prend $a_m(n)=(-1)^m\frac{n+1}{m+1}$, on a $[a(n)]=0$ mais $a_m(m)=(-1)^m$ non convergente.
Ce n'est pas très grave puisqu'il suffit de choisir pour chaque $m$, un représentant de la classe $a_m$ qui "converge/est de Cauchy" suffisamment vite.

[Bidoof]

Merci c'est un plaisir de vous lire. (très instructif).

[Bidoof]

$ $
Montrons que $(l_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge.
Comme $(i(l_{n}))_{n \in \mathbb{N}}$ converge alors elle est de Cauchy.
Ainsi, fixons $\epsilon >0$, pour $p,q > N_{\epsilon}$ on a $d_{L}(i(l_{p}),i(l_{q})) = d_{L}(l_{n},l_{q}) < \epsilon$.
Ainsi $(l_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy dans $L$ complet, elle converge.