Complétion corps valué.

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Complétion corps valué.

Message par Bidoof » 17 janv. 2018 08:16

Salut à tous !

Pouvez vous me débloquer sur un exercice s'il vous plaît.

Énoncé : Soit $K$ un corps muni d'une valeur absolue.
Soit $C$ l'anneau des suites du Cauchy du corps $K$ et $I$ l'idéal de suites de $K$ qui converge vers $0$.
Je cherche à montrer que $C/I = K'$ est un corps muni de la même norme que $K$ (qu'on va prolonger) et que $K$ (confondu avec son image dans $K'$) est dense.

Preuve : Pour prolonger la norme on considère $ \bar{a} \in K', | \bar{a} | = \lim_{n \rightarrow +\infty} |a_{n}|$ (ça ne dépend pas du représentant).

- $K'$ est un corps

- $I$ un idéal de $C$ car Cauchy implique bornée entres autres.

- $K$ est dense : On fixe $\epsilon>0$ et un élément $ p\big((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\big) = x\in K'$. avec $(u_n)\in C$.
On trouve $N \in \mathbb{N}$ tel que pour $p,q\ge N$, $\ |u_p-u_q|\le\epsilon$. En particulier $\forall p \ge N, \ |u_{N} - u_{p}| \le \epsilon$ donc $\lim\limits_{p\rightarrow + \infty } |u_{N} - u_{p}| = |u_N-x| \le \epsilon$.

Au final on a montré qu'on pouvait trouver un élément de $K$ (identifier à une suite constante) arbitrairement proche d'un élément de $K'$ donc $K$ est dense dans $K'$.

- $K'$ est complet : Soit $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy de $K'$.
Comme $K$ est dense dans $K'$ alors $\forall n\in \mathbb{N},\ \exists b_{n} \in K ,\ |a_{n} - b_{n}| = \lim\limits_{p\rightarrow + \infty} |a_{n,p} -b_{n}| \le 2^{-n}$.
$|b_{q} - b_{q}| \le |a_{p,r} - a_{q,r}| + |a_{q,r} - b_{q}| + |b_{p} - a_{p,r}| $

Lorsque $r > N_{1}, |a_{q,r} - b_{q}| + |b_{p} - a_{p,r}| \le 2^{-p} + 2^{-q}$

Lorsque $p,q > N_{2}, 2^{-p} + 2^{-q} < \epsilon$ et plus de $|a_{p,r} - a_{q,r}| < \epsilon $ car $p,q > N_{\epsilon},\ \lim\limits_{r\rightarrow + \infty} |a_{p,r} -a_{q,r}| \le \epsilon $
Au final si on prend $p,q > \max(N_{2}, N_{\epsilon})$ et $r > N_{1}$ on a que $(b_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est dans $C$

Ensuite $(b_{n})_{n\in \mathbb N}$ est une suite d'élément de $K$ donc une suite de suite constante et cette suite de suite converge vers la suite $b$.
En effet ??? [Je bloque ici]

On peut écrire $ |a_{n} - b| \le 2^{-n} $ d'après ce qui précède.
Ce qui conclut.

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Re: Complétion corps valué.

Message par Siméon » 20 janv. 2018 14:22

Pour tout $ n \in \mathbb N,\
|b_n - b|_{K'} = \lim\limits_{p\to +\infty} |b_n - b_p|_K \leq \sup\limits_{p,q \geq n} |b_q - b_p|_K $. Or $b$ est de Cauchy ...

P.S. On peut montrer la complétude plus directement, sans passer par la densité :
Si $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ est de Cauchy dans $K'$, alors la suite $\ell = (a_{n,n})_{n\in\mathbb N}$ est de Cauchy dans $K$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}|a_n - \ell|_{K'} = 0$.

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Re: Complétion corps valué.

Message par Bidoof » 21 janv. 2018 17:26

Salut et merci.

C'est pour mon TIPE sur les corps p-adique :mrgreen: .

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Re: Complétion corps valué.

Message par BobbyJoe » 21 janv. 2018 21:58

J'espère que tu parles du théorème d'Ostrowski? ^^

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Re: Complétion corps valué.

Message par Bidoof » 17 mars 2018 10:57

Salut, c'est un joli théorème mais... J'étudie plutôt les équations p-adiques (Cf JP Serre - Arithmétique).

$ $
Au passage... Je me demande si je possède un autre corps $L$ complet, dans lequel $K$ est dense alors y a-t-il un isomorphisme de corps entre $L$ et $K'$ ?

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Re: Complétion corps valué.

Message par oty20 » 17 mars 2018 18:16

il me semble avoir vue une épreuve de l'ensae , sur les corps p-adiques .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Complétion corps valué.

Message par matmeca_mcf1 » 17 mars 2018 19:46

Au passage, voici un conseil/technique pour démontrer qu'un espace métrique est complet. Il nous a été donné par Yves Meyer en 1A à Cachan. Il vient de deux remarques:
  • Si E est un espace métrique (non forcément complet), toute suite de Cauchy qui admet une sous-suite convergente converge.
  • De toute suite de Cauchy $ u $ à valeurs dans E, on peut extraire une sous-suite $ v=(u_{n_k})_{k\in\mathbb{N}} $ tel que pour tout entier $ k $, on a $ \mathrm{dist}(v_{k},v_{k+1})\leq \frac{1}{2^k} $.
Donc, pour démontrer la complétude, il suffit de démontrer que toute suite $ v $ vérifiant, pour tout entier $ k $$ \mathrm{dist}(v_{k},v_{k+1})\leq \frac{1}{2^k} $, est une suite convergente. Et on se débarasse des quantificateurs dans les hypothèses, ce qui allège les preuves.

Si vous n'êtes pas familier avec la notion d'espace métrique, remplacez E par un evn ou un corps muni d'une valeur absolu, et la distance entre deux éléments par la norme, ou la valeur absolu, de leur différence.


Pour montrer que $ K' $ est complet avec cette technique, on suppose sans perte de généralité que pour tout entier $ n $, $ \lvert a_{n+1}-a_{n}\rvert_{K'}\leq \frac{1}{2^n} $. Et pour tout $ n $, on choisit un représentant de $ a_n $ dans $ C $ vérifiant $ \lvert a_{n,k+1}-a_{n,k}\rvert\leq\frac{1}{2^k} $ (il suffit de montrer qu'une sous-suite d'une suite dans $ C $ est dans la même classe d'équivalence que la suite elle-même).
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Complétion corps valué.

Message par Bidoof » 18 mars 2018 13:35

Je pense qu'on prouve l'unicité d'un corps valué ici : http://math.univ-bpclermont.fr/~diarra/coursDEA.pdf page 3
Mais je comprend pas sa démo. J'ai l'impression qu'il utilise des choses que je connais pas.

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Re: Complétion corps valué.

Message par matmeca_mcf1 » 18 mars 2018 15:24

Supposez que $ L $ est un corps valué complet. Supposez que vous avez $ i\colon K\to L $ un morphisme de corps et une isométrie, et $ i(K) $ dense dans $ L $. Vous devez
  1. Montrer qu'un prolongement continue $ \tilde{\imath} $ de $ i $ à $ \hat{K} $ est forcément unique (c'est vrai pour les espaces métriques, la structure de corps n'intervient pas, l'hypothèse $i(K)$ dense dans $L$ n'intervient pas).
  2. Montrer que ce prolongement existe quand $i$ est une isométrie (encore une fois vrai pour les espaces métriques, l'hypothèse $i(K)$ dense dans $L$ n'intervient pas, l'hypothèse isométrie peut être remplacé par lipshitzienne).
  3. Montrer que ce prolongement est surjectif(encore une fois vrai pour les espaces métriques, il faut utiliser l'hypothèse $i(K)$ dense dans $L$).
  4. Montrer que ce prolongement est un isomophisme de corps.
Les trois premiers points sont courramment fait pour les espaces métriques.

Vous n'avez jamais besoin d'utiliser la construction de $ \hat{K} $, seulement ses propriétés: corps valué, complet, K dense dans $\hat{K}$, et la valeur absolue de $\hat{K}$ prolonge la valeur absolue de $K$.

EDIT: syntaxe
Dernière modification par matmeca_mcf1 le 18 mars 2018 21:21, modifié 1 fois.
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Re: Complétion corps valué.

Message par Bidoof » 18 mars 2018 18:34

Super merci ! J'ai réfléchi ça va marcher.

1) Supposons qu'il existe deux prolongement continue de $i$ à $\hat{K}$ disons $i_{1}$ et $i_{2}$ alors ces fonctions continues coïncident sur une partie dense de $\hat{K}$, elles sont donc les mêmes sur $\hat{K}$.

2) Supposons que $i$ est une isométrie de $K$ dans $L$.
Par un résultat classique (dont je donne pas les hypothèses) il existe un prolongement uniformément continue de $i$ noté $\hat{i}$ sur $\hat{K}$ dans $L$. Et si on se souviens de la preuve de ce résultat on a même que $\hat{i}(x) = lim_{n \rightarrow + \infty} (i(x_{n}))$ avec $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de $K$ qui converge vers $x$ (densité oblige).
Avec ce rappel, il est clair que $\hat{i}$ est une isométrie car $d$ est continue.

3) Montrons que ce prolongement est surjectif. Soit $l$ dans $L$ alors comme $i(K)$ est dense dans $L$ il existe une suite de $K$ notée $(l_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ tel que $(i(l_{n}))_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $l$. Or $i$ est continue donc $(l_{n})_{n \in \mathbb{N}})$ converge vers $z$ dans $L$.
Ainsi $\hat{i}(z)= l$

4) Montrons que ce prolongement est une isomorphisme de corps.
Comme $i$ est un morphisme de corps alors $\hat{i}$ l'est aussi.
Montrons que $\hat{i}$ est bijective en montrant qu'elle est injective mais c'est évident car $\hat{i}$ est une isométrie.
Dernière modification par Bidoof le 18 mars 2018 19:16, modifié 3 fois.

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