Arithmétique et nombres premiers
Arithmétique et nombres premiers
Bonjour,
J’ai un exercice en arithmétique et je bloque sur la première question. Les suivantes découlent de celle-ci donc en me servant du résultat je suis arrivé à y répondre mais ça ne m’a pas donné de piste pour résoudre la première qui est :
« Soit a et b deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Montrer que pour tout n>ab-a-b, il existe (x,y) appartenant à N^2 tel que : ax+by=n
Et pour n=ab-a-b ? »
J’ai essayé quelques trucs en passant par le théorème de Bezout et par les propriétés sur les nombres premiers... sans succès. Mais je pense que je le sers mal du résultat : n>ab-a-b
Si vous pouviez me donner juste quelques pistes de départ ce serait vraiment gentil de votre part.
Merci d’avance.
J’ai un exercice en arithmétique et je bloque sur la première question. Les suivantes découlent de celle-ci donc en me servant du résultat je suis arrivé à y répondre mais ça ne m’a pas donné de piste pour résoudre la première qui est :
« Soit a et b deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Montrer que pour tout n>ab-a-b, il existe (x,y) appartenant à N^2 tel que : ax+by=n
Et pour n=ab-a-b ? »
J’ai essayé quelques trucs en passant par le théorème de Bezout et par les propriétés sur les nombres premiers... sans succès. Mais je pense que je le sers mal du résultat : n>ab-a-b
Si vous pouviez me donner juste quelques pistes de départ ce serait vraiment gentil de votre part.
Merci d’avance.
Re: Arithmétique et nombres premiers
Commence par résoudre ax+by=1. (qui a au moins une solution par Bachet-Bézout)
Pour ce faire, trouve un moyen d'exhiber une solution particulière.
A partir de là, l'ensemble des solutions peut s'obtenir par une certaine combinaison.
Tu auras une solution particulière pour le cas n en multipliant le couple solution pour 1, par n.
Tu devrais trouver, à partir de là, ce que signifie le cas n=ab-a-b
Pour ce faire, trouve un moyen d'exhiber une solution particulière.
A partir de là, l'ensemble des solutions peut s'obtenir par une certaine combinaison.
Tu auras une solution particulière pour le cas n en multipliant le couple solution pour 1, par n.
Tu devrais trouver, à partir de là, ce que signifie le cas n=ab-a-b
Masséna (PC*) -- X15 -- Spatial.
Re: Arithmétique et nombres premiers
Supposons que $ au + bv = n $ avec $ (u,v) \in\mathbb Z^2 $, alors pour tout $k \in \mathbb Z,\ a(u-kb) + b(v+ka) = n$.
Il te reste à vérifier que si $ n > ab-a-b $, alors tu pourras toujours trouver $ k \in \mathbb Z $ tel que $ u-kb \geq 0 $ et $ v +ka \geq 0 $.
Il te reste à vérifier que si $ n > ab-a-b $, alors tu pourras toujours trouver $ k \in \mathbb Z $ tel que $ u-kb \geq 0 $ et $ v +ka \geq 0 $.
Re: Arithmétique et nombres premiers
Merci beaucoup pour vos pistes, je vais essayer de résoudre le probleme maintenant.