Arithmétique et nombres premiers

[ThisIsBapt]

Bonjour,

J’ai un exercice en arithmétique et je bloque sur la première question. Les suivantes découlent de celle-ci donc en me servant du résultat je suis arrivé à y répondre mais ça ne m’a pas donné de piste pour résoudre la première qui est :

« Soit a et b deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Montrer que pour tout n>ab-a-b, il existe (x,y) appartenant à N^2 tel que : ax+by=n
Et pour n=ab-a-b ? »

J’ai essayé quelques trucs en passant par le théorème de Bezout et par les propriétés sur les nombres premiers... sans succès. Mais je pense que je le sers mal du résultat : n>ab-a-b

Si vous pouviez me donner juste quelques pistes de départ ce serait vraiment gentil de votre part.
Merci d’avance.

[Hibiscus]

Commence par résoudre ax+by=1. (qui a au moins une solution par Bachet-Bézout)
Pour ce faire, trouve un moyen d'exhiber une solution particulière.
A partir de là, l'ensemble des solutions peut s'obtenir par une certaine combinaison.

Tu auras une solution particulière pour le cas n en multipliant le couple solution pour 1, par n.
Tu devrais trouver, à partir de là, ce que signifie le cas n=ab-a-b

[Siméon]

Supposons que $ au + bv = n $ avec $ (u,v) \in\mathbb Z^2 $, alors pour tout $k \in \mathbb Z,\ a(u-kb) + b(v+ka) = n$.
Il te reste à vérifier que si $ n > ab-a-b $, alors tu pourras toujours trouver $ k \in \mathbb Z $ tel que $ u-kb \geq 0 $ et $ v +ka \geq 0 $.

[ThisIsBapt]

Merci beaucoup pour vos pistes, je vais essayer de résoudre le probleme maintenant.