Integration

[Walid2018]

$ Soit\ f\ continue\ sur\ [0,1]\ à\ valeurs\ dans \mathbb{R}, on\ suppose\ pour\ tout\ k\ dans \left \{0,..,n-1 \right \},n\in \mathbb{N}^{*}, \int_{0}^{1}f(t)t^{k}dt=0\\
Montrer\ que\ f\ s'annule\ au\ moins\ n\ fois\ sur\ [0,1]. $
Merci à Bobbyjoe pour cette premiére question
2/$ Soit\ f\ de\ \mathbb{R}\ dans\ \mathbb{R},2\pi\ périodique\ On\ suppose pour\ tout\ k\ dans \left \{0,..,n-1 \right \},n\in \mathbb{N}^{*}, \int_{0}^{1}f(t)cos(kt)dt=0= \int_{0}^{1}f(t)sin(kt)dt\\ \\
Montrer\ que\ f\ s'annule\ au\ moins\ 2n\ fois. $

[Jarjar666]

Remarque déjà que pour tout polynôme de degré n-1, l'intégrale est nulle puis raisonne par l'absurde.

[Walid2018]

J'ai déjà pensé à ce fait, comme l'approximation de Weierstrass n'est pas valable, j'arrive pas à voir comment trouver la contradiction.

[Walid2018]

Je vais essayer avec le polynome scindé ou ses racines sont les solutions de f(x)=0, j'aimerais bien voir que le produit soit de signe constant pour conclure que le produit est nul mais ce n'est pas vrai apparemment

[BobbyJoe]

Suppose que $f$ a moins de $n-1$ zéros. Les zéros "intéressants" de $f$ sont précisément les zéros de $ $$f$ en lesquels $ $$f$ change de signe. On obtient donc une suite finie de points ordonnées de $ $$[0,1]$ : $ $$0\leq x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{k}\leq 1$ avec $ $$k\leq n-1$ telle que (quitte à changer $ $$f$ en $ $$-f$), sur $ $$[0,x_{1}]$, $ $$f\geq 0$, sur $ $$[x_{1},x_{2}]$, $ $$f\leq 0,\ldots....$ ($ $$f$ change alternativement de signe sur $ $$[x_{i},x_{i+1}]$ pour $ $$i$ allant de $ $$0$ à $ $$k$ avec $ $$x_{0}=0$ et $ $$x_{k+1}=1$). En considérant le polynôme, $ $$\displaystyle P(X)=\prod_{i=1}^{k-1}(x_{i}-X),$ on a que la fonction $ $$Pf$ est positive sur $ $$[0,1]$ mais d'intégrale nulle... Ainsi, $ $$f$ est nulle, une contradiction.

Après, je ne sais pas s'il s'agit d'une faute de frappe ou non mais mais tu as omis que $\displaystyle \int_{0}^{1}f(t)dt\neq 0.$ Si tel est ton énoncé, la conclusion est différente et il te faut dans ce cas modifier un peu l'idée de la preuve ci-dessus.

La conclusion serait que $ $$\displaystyle t\mapsto tf(t)$ s'annule au moins $ $$(n-1)$ fois et il faut travailler un peu pour voir que $ $$f$ s'annule au moins $ $$(n-1)$ fois (car essentiellement $ $$0$ compte pour du beurre).

[Walid2018]

C'est changé, déoslé, fallais penser qu'aux raçines ou f change de signe, maintenant j'ai ajouté une deuxieme question

[BobbyJoe]

L'énoncé a l'air buggé... J'imagine que la condition est plutôt...

Utilise le fait que pour tout $ $$k$ appartenant à $ $$\{-(n-1),\ldots,n-1\},$ $$\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{ikt}dt=0.$$ Et procède en adaptant l'idée précédente.