Exercice CNS

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Exercice CNS

Message par humbleserviteur » 25 janv. 2018 21:40

Bonsoir,

J'essaie de faire l'exo suivant :

Donner une condition nécessaire et suffisante sur f $ \in $ $ C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R}) $ pour que g(x)=f($ x^{1/2} $), définie sur $ \mathbb{R}^{+} $, soit $ C^{\infty} $

J'ai essayé de raisonner par analyse-synthèse mais je ne sais pas comment m'y prendre
Quelqu'un aurait-il une idée ?
Merci d'avance

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Re: Exercice CNS

Message par Osvatski » 25 janv. 2018 22:36

cf Oral ENS
L'examinateur sort son portable de sa poche et le place à la verticale sur la table. Le portable tombe. Expliquer.

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Re: Exercice CNS

Message par BobbyJoe » 25 janv. 2018 22:38

Fait déjà le cas $ $$\mathcal{C}^{2}.$ Et pourquoi ne pas écrire que pour $ $$x\geq 0,$ $ $$g(x^{2})=f(x)$?

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Re: Exercice CNS

Message par humbleserviteur » 26 janv. 2018 14:45

BobbyJoe a écrit :
25 janv. 2018 22:38
Fait déjà le cas $ $$\mathcal{C}^{2}.$ Et pourquoi ne pas écrire que pour $ $$x\geq 0,$ $ $$g(x^{2})=f(x)$?

Même pour $ $$\mathcal{C}^{2}$, je bloque

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Re: Exercice CNS

Message par Siméon » 26 janv. 2018 16:12

Est-ce ok sur $\mathbb R_+^*$ ? En $0$, tu peux considérer le développement de Taylor-Young.

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Re: Exercice CNS

Message par JeanN » 26 janv. 2018 19:40

humbleserviteur a écrit :
26 janv. 2018 14:45
BobbyJoe a écrit :
25 janv. 2018 22:38
Fait déjà le cas $ $$\mathcal{C}^{2}.$ Et pourquoi ne pas écrire que pour $ $$x\geq 0,$ $ $$g(x^{2})=f(x)$?

Même pour $ $$\mathcal{C}^{2}$, je bloque
Où ?
Quelles sont tes tentatives d’approche de cette question ?
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Re: Exercice CNS

Message par humbleserviteur » 27 janv. 2018 16:18

JeanN a écrit :
26 janv. 2018 19:40
humbleserviteur a écrit :
26 janv. 2018 14:45
BobbyJoe a écrit :
25 janv. 2018 22:38
Fait déjà le cas $ $$\mathcal{C}^{2}.$ Et pourquoi ne pas écrire que pour $ $$x\geq 0,$ $ $$g(x^{2})=f(x)$?

Même pour $ $$\mathcal{C}^{2}$, je bloque
Où ?
Quelles sont tes tentatives d’approche de cette question ?
Tout d'abord, j'ai supposé que g était $ C^{\infty} $ sur son domaine de déf (càd $ \mathbb{R}^{+} $ puis j'ai essayé de voir la condition que j'obtiens sur f
Comme l'a dit Siméon, on peut être sûr la condition portera essentiellement sur f en 0
Ensuite, j'ai essayé de calculer les premières derivées de g(x), on a $ g'(x)=\frac{f'(x)}{2\sqrt{x}} $ (ou aussi $ 2xg'(x^{2})=f'(x) $)
La deuxième expression permet de savoir que dans ce cas, on aura f'(0)=0
Mais après, c'est le vide, je ne sais pas comment continuer :cry:

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Re: Exercice CNS

Message par Siméon » 28 janv. 2018 14:45

Cher humbleserviteur, que fais-tu de mon autre indication ? Le développement de Taylor de $f$ en $0$ s'exprime très simplement à partir de celui de $g$ (tu peux y penser en termes de développements limités). Tu obtiendras une condition nécessaire portant sur tous les $(f^{(2k+1)}(0))_{k\in \mathbb N}$.

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Re: Exercice CNS

Message par matmeca_mcf1 » 16 févr. 2018 01:39

Quelques indices:
Comme expliqué par Siméon. Le développement de Taylor Young te donnera une condition nécessaire. Il ne peut pas te donner une condition suffisante car l'existence du développement de Taylor Young ne te donne pas que la fonction $ g $ est $ \mathcal{C}^\infty $.

Pour montrer que la condition suffisante, il te faut d'abord démontrer un autre résultat.

Montre que si $ u\colon[0,+\infty)\to\mathbb{R} $ est $ \mathcal{C}^\infty $, avec $ u(0)=0 $
alors
$
v\colon[0,+\infty)\to\mathbb{R},\quad\\
x\mapsto \begin{cases}
u(x)/x\text{ si }x>0\\
u'(0)\text{ si }x=0
\end{cases}
$
est de classe $ \mathcal{C}^\infty $.

Regarde la forme de $g'$ et tu verras le lien.

Il reste à utiliser ce résultat intermédiaire et à procéder par récurrence pour démontrer que $ g $ est de classe $ \mathcal{C}^k $ pour tout $ k $.

Si la question est comment trouver cette méthode: il faut regarder la forme de $ g' $ et reconnaître une récurrence possible si jamais on peut établir le résultat intermédiaire ci-dessus.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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