Je suis tombé sur un exo en colle qui m'a amené à me poser les questions suivantes :
Soit (E, <.>) un espace euclidien de dimension n.
Existe-t-il une famille de n vecteurs (u1, ... , un) tel que pour tout ui, uj (j différent de i), <ui , uj> < 0 ?
Si l'on suppose qu'une telle famille existe, peut-on construire un nouveau vecteur dont le produit scalaire avec tous les autres est strictement négatif ?
L'exercice que j'avais supposait en fait l'existence d'une telle famille de n+1 vecteurs, pour montrer qu'alors on peut choisir n vecteurs de cette famille, et qu'ils formeront une base de E.
Mais l'hypothèse d'existence au début m'ennuie. Je vois bien la chose en dimension 2 et 3, mais après..?
Merci !
