Restriction d'une forme quadratique

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Restriction d'une forme quadratique

Message par BijouRe » 26 janv. 2018 21:59

Bonjour à tous,
En colle j'ai eu à démontrer le critère de Sylvester. Pour cela j'ai utilisé le fait que la restriction d'une forme quadratique définie positive etait une forme quadratique définie positive. Cependant cette notion étant HP je me demandais si il était possible de démontrer que cette restriction était définie positive en passant par des matrices (ie en utilisant le fait que tXMX>0 et non que q(X,X)>0) ?
Merci pour votre aide :)
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Re: Restriction d'une forme quadratique

Message par Kallio » 26 janv. 2018 22:53

BijouRe a écrit :
26 janv. 2018 21:59
ie en utilisant le fait que tXMX>0 et non que q(X,X)>0) ?
Tu voulais dire $ q(X) > 0 $ plutôt non ? Ou alors $ B(X,X) > 0 $ avec $ B $ la forme bilinéaire associée à $ q $ ...

Quoi qu'il en soit, dans un espace $ E $ de dimension $ n $, on peut écrire une forme quadratique sous cette forme :
$ q : x=(x_{1}, ..., x_{n}) \mapsto \displaystyle\sum_{1 \leq i,j \leq n} a_{i, j}x_{i}x_{j} $, où les $ a_{i, j} $ sont des scalaires.

On remarque alors que : $ \forall x \in E, q(x) = X^{T}AX $ où $ X $ est le vecteur contenant les coordonnées de $ x $ dans une base de $ E $ et $ A $ la matrice dont les coefficients sont les $ a_{i,j} $. Cela permet de passer d'une écriture à l'autre, et donc d'utiliser les matrices.

Est-ce que ça répond à ta question ?
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Re: Restriction d'une forme quadratique

Message par BijouRe » 26 janv. 2018 23:12

Ouai je voulais écrire q(X) ^^
Mais en gros, le problème est plutot dans comment rédiger une démonstration convenable de :
Soit M une matrice symétrique définie positive, montrer que M_k (la matrice de taille k x k allant de m[1,1] à m[k,k]) est symétrique définie positive.
Sans utiliser le fait que q(x) reste défini positive quand on le restreint à Vect(e_1,...,e_k). (Donc montrer ca matriciellement)
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Re: Restriction d'une forme quadratique

Message par Kallio » 26 janv. 2018 23:41

Ahh ok j'avais pas compris, c'est pour ça que la question me semblait très bizarre. Du coup la première idée qui me vient à l'esprit pour montrer cela est de montrer que le spectre de la matrice M et celui d'une telle matrice extraite sont enlacés (cf X Maths A 2015) mais ça revient un peu à utiliser un bazooka pour tuer une mouche :mrgreen: Mais je crois qu'il y a plus simple (je suis sur mon portable donc je me trompe peut-être en disant cela) :

Si on note $ M_k $ la matrice extraite dont tu parles, on peut écrire, $ \forall X \in \mathcal{M}_{k,1}(\mathbb{R}), X^{T}M_{k}X = (I_{n,k}X)^{T}M(I_{n,k}X) $ où $ I_{n,k} $ est une matrice extraite de la matrice identité (on prend les $ n $ lignes et les $ k $ premières colonnes, donc on se retrouve avec une diagonale de 1 coupée quoi). On peut donc utiliser l'hypothèse "M symétrique définie positive" pour conclure.
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Re: Restriction d'une forme quadratique

Message par BijouRe » 27 janv. 2018 07:08

Ah bien vu ! ^^
En me couchant j'avais penser à faire un peu dans ce style mais avec une matrice de passage P de la base canonique à une base orthonormée qui diagonalise M_k, puis la compléter avec des 1 sur la diagonale restante pour passer de M_k à M. Mais c'est vrai que c'est plus simple comme ca !
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