Un système polynomial simple

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 0

Inscription : 18 mars 2015 18:44

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Un système polynomial simple

Message par Sylve » 26 janv. 2018 23:09

Bonjour,

On constate (Wolfram) que la seule solution dans C du système

$
\left\{
\begin{array}{l}
x + y + z + t = 0 \\
x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = 0 \\
x^3 + y^3 + z^3 + t^3 = 0 \\
x^4 + y^4 + z^4 + t^4 = 0
\end{array}
\right.
$

est x = y = z = t = 0. De même si l'on n'a que deux ou trois inconnues.

Peut-on généraliser ? Si oui, cela ferait une preuve très rapide pour la caractérisation des matrices nilpotentes par la nullité de la trace des puissances de la matrice.

Cela me fait penser aux matrices de Van der Monde, mais hormis permettre de montrer l'égalité de deux vecteurs, je n'arrive pas à voir en quoi elles peuvent m'aider.

Une suggestion ? (Si c'est faisable)

Merci bonne soirée :)

Messages : 0

Inscription : 08 juin 2015 19:31

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Un système polynomial simple

Message par Kallio » 26 janv. 2018 23:51

Si tes inconnues sont différentes, alors le déterminant de Vandermonde est non nul, donc la matrice associée inversible, et en particulier injective. Du coup, comme tu as une égalité AX = 0 avec X un vecteur non nul, tes inconnues sont nécessairement les mêmes, sinon il y aurait une contradiction avec l'injectivité. Tu peux ensuite conclure avec (dans ton exemple) $ 4x = 0 $.
MVA

Messages : 3823

Inscription : 17 avr. 2012 21:19

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Un système polynomial simple

Message par bullquies » 26 janv. 2018 23:52

c'est effectivement vandermonde

Si on prend la forme classique de la matrice $ V = \begin{pmatrix}
1 &x &x^2 &x^3 \\
1 &y &y^2 &y^3 \\
1 &z &z^2 &z^3 \\
1 &t &t^2 &t^3
\end{pmatrix} $, et disons $ W = V^T $ sa transposée

Alors ton système d'équations est équivalent à $ WX = 0 $, avec
$ X = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
t
\end{pmatrix} $
Pour conclure, cf le post d'Antoine
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

Messages : 0

Inscription : 18 mars 2015 18:44

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Un système polynomial simple

Message par Sylve » 27 janv. 2018 00:13

Merci, c'est à quoi j'avais plus ou moins abouti.
Cependant Antoine- il me semble que ce raisonnement ne permet de montrer l'égalité que de deux coefficients, et non de tous, ou alors j'ai mal compris..? Car ce que l'on suppose par l'absurde c'est que les x,y,z,t sont deux à deux distincts, donc on aboutit (de ce que je vois pour l'instant) qu'à, par exemple, x = y.

Cela dit je pense qu'on doit pouvoir réitérer le procédé et s'en sortir par récurrence.

Messages : 0

Inscription : 19 avr. 2015 00:08

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Un système polynomial simple

Message par darklol » 27 janv. 2018 00:18

Oui ça montre seulement que deux inconnues sont égales, ensuite il suffit d’itérer en oubliant la dernière ligne et en changeant un peu le vecteur $ X $ de bullquies.
ENS Lyon
Ingénieur de recherche

Messages : 0

Inscription : 08 juin 2015 19:31

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Un système polynomial simple

Message par Kallio » 27 janv. 2018 08:41

Oui bien sûr, j'ai été un peu vite désolé !
MVA

Messages : 0

Inscription : 18 mars 2015 18:44

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Un système polynomial simple

Message par Sylve » 27 janv. 2018 13:02

Okidoki, merci à tous !

Messages : 0

Inscription : 16 janv. 2016 15:51

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Un système polynomial simple

Message par Syl20 » 27 janv. 2018 19:01

Une autre solution pour un tel exo, c'est de considérer x,y,z et t comme les racines d'un polynôme P de degré 4, puis de montrer avec les polynômes symétriques élémentaires P=X⁴
2016-2018 : Louis-le-Grand MPSI-MP*
X2018

Messages : 0

Inscription : 18 mars 2015 18:44

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Un système polynomial simple

Message par Sylve » 28 janv. 2018 23:29

Merci Syl20, c'est pas mal du tout ! (Et ça m'a permis de redécouvrir les polynômes symétriques, première fois que j'entends parler d'identités de Newton, les polynômes symétriques on les avait à peine abordés en sup, dommage... J'allais justement poser ma question comment faire si on a un second membre mais j'ai eu ma réponse au passage donc!)

Répondre