Convexité, connexité par arcs, et frontière topologique

[theN]

Bonjour,
j'ai récemment essayé de prouver le petit théorème laissé en exercice à la fin de la vidéo de 3Blue1Brown, à savoir :

Soient E = R^n, n>=2, et C un convexe borné de E
On considère D={p+q où p et q sont sur la frontière de C}, montrer que D est convexe

J'ai bien avancé, et avec un peu de géométrie, un peu de topologie, et un peu de calcul différentiel, je vois la fin.
Il me manque juste pour conclure une preuve du petit lemme suivant :

Soient E=R^n, n>=2, et C un convexe borné d'intérieur non vide de E
Alors la frontière de C est connexe par arcs

Mon lemme semble réaliste sur le dessin, mais cela n'est pas une preuve...
Je voulais savoir si l'un d'entre vous avait une idée de ce qui fait marcher la chose sur le schéma, un début de preuve, ou un contre-exemple simple.

Merci !

[JeanN]

Pour simplifier, on va supposer que le le vecteur nul O appartient à l'intérieur de ton convexe.
On pose r>0 tel que Bf(O,r) inclus dans C et S la sphère de centre O et de rayon r (qui est connexe par arcs car n>=2)
Grâce à la fonction jauge, tu peux construire une fonction continue qui envoie S sur la frontière de C ce qui permet de conclure.
http://www.bibmath.net/dico/index.php?a ... jauge.html

[theN]

Ah oui malin, le cas de la boule unité est assez simple, et mon convexe d'intérieur non vide c'est presque la boule unité ! Merci beaucoup !