Espace euclidien et diagonalisation

[JeanN]

Dans quel corps ?
Dans R, c’est faux en general, sauf si la matrice antisymétrique est nulle

[Kallio]

Ce n'était pas précisé, mais si c'est faux dans R, alors c'était probablement dans C. Si c'est faux également dans ce cas, l'énoncé était incorrect alors ...

[JeanN]

C’est vrai dans C car une matrice antisymétrique réelle est diagonalisable dans C

[Sylve]

Merci JeanN, ça se fait bien effectivement.

[BijouRe]

C’est vrai dans C car une matrice antisymétrique réelle est diagonalisable dans C

Je viens d'essayer de montrer cette propriété. J'arrive à avoir que -A^2 est symétrique positive donc diagonalisable puis j'arrive à conclure sur la diagonalisation de A en utilisant son polynome caractéristique. Cependant avec cette méthode je ne "vois" ps vraiment ce qu'il se passe, ainsi connaîtriez vous une autre façon de conclure ?

[Nabuco]

En fait comme l adjoint de A est -A si A laisse stable un espace F elle laisse stable son orthogonal. Comme elle laisse un plan stable ou une droite stable via le même argument que les symétriques l espace s écrit comme somme de plans stables et droites stables. On ecrit donc dans une base orthogonale adaptée à cette décomposition, et donc la matrice est diagonale par blocs avec des blocs antisymetriques 1*1 ou 2*2. Et ceux ci sont evidemment diagonalisables.

[BijouRe]

Oui je connais cette autre demo (qui est un cas particulier de la réduction des matrices commutant avec leurs adjoint). Mais ce résultat est tres "fort" et du cou je voulais savoir si il existait une autre façon de montrer le résultat avec une méthode "bourrine" (ou on démontrerait le résultat en exploitant le fait que les valeurs propres de A (les a_i) soit imaginaire pure (donc il en existe un nombre pair) êt que (a_i)^2=b_i ou b_i est une valeur propre de A^2.

Je sais pas si c'est clair ><

[Nabuco]

Dans ce cas A commute avec -A*A donc stabilise ses espaces propres. En prenant une base orthonormale adaptée on se ramene à A diagonale avec des blocs Mi tels que Mi*Mi=-a_i Id pour a réel positif. Ces blocs sont immédiatement diagonalisables sauf pour a=0, mais pas de problème car Ker(A)=Ker(-A*A), le bloc en question est donc nul donc diagonalisable.