fonction continue vs fonction convexe

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fonction continue vs fonction convexe

Message par oty20 » 01 févr. 2018 17:51

Bonjour , je poste cette question , que je trouve assez intéressante .
Soit $ f : [0, +\infty) \to [0,+\infty) $ continue , de limite nulle a l'infini $ \lim_{x \to +\infty} f(x)=0 $
Existe t'il une fonction $ g :[0, +\infty) \to [0,+\infty) $ convexe vérifiant : $ g \geq f $ et $ \lim_{x \to +\infty} g(x)=0 $

cela semble vrai , les hypothèses sur $ f $ force le fait qu'elle soit bornée , au voisinage de l'infini $ f $ se rapproche de l'axe des abscisses , donc on peut toujours imaginer une courbe qui ''suit'' la courbe$ f $ par valeurs supérieur , et dont les tangentes restent en dessous de la courbe , comme $ f $ est bornée , on peut contourné secteur ou $ f $ varie par valeur supérieur, tout en préservant la convexité.... Image


cependant je n'arrive toujours pas a formuler une preuve , jusque la je n'ai eu que deux idées
la première déjà comme $ f $ est bornée , l'ensemble des fonctions convexes positive $ E $ qui majore $ f $ est non vide , on peut conjecturer que
$ g(x)=inf_{s\in E} s(x) $ résout le problème , cependant est ce que l'enveloppe inférieur d'un ensemble de fonctions convexes est convexe ? j'ai un doute sur cela .

l'autre de subdiviser intervalle $ [0, \infty) $ en $ I_{k} $ de longeurs $ l_{k} $ tendant vers 0
on peut considérer la suite de fonctions $ f_{k} $ qui a $ x\in I_{k} $ associe $ f_{k}(x)=f(x_{k}) $ , $ x_{k} \in I_{k} $ a choisir , pour $ l_{k} $ faible $ f_{k}(x) $ reste très proche de $ x $ , de ce fait on a une suite de fonctions simples qui suit les variations locales de $ f $ , en espérant construire $ g $ de proche en proche ...

Quelques doute : Au voisinage de l'infini les variations de $ f $ peuvent être très brusque , comme $ g $ tend aussi vers 0 , a un moment elle sera forcer de suivre les variations de $ f $ pour rester au dessus , ce qui peut briser la convexité ....

Des idées ? Merci .
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Re: fonction continue vs fonction convexe

Message par Jarjar666 » 01 févr. 2018 18:09

Je suis assez incertain mais je crois que construire une fonction affine par morceaux pourrait te permettre de conclure.

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Re: fonction continue vs fonction convexe

Message par siro » 01 févr. 2018 18:14

Le problème, c'est de se trouver une marge de sécurité pour construire sa fonction convexe.

Indice #PTgaragiste #Gadzartstyle : x2 c'est une bonne marge de sécurité.

Un peu plus de détail :
SPOILER:
Soit C strictement positif majorant f (il en existe au moins un pour des raisons assez évidentes).
Soit la suite $ (I_i = [0,C/2^i])_i $.
Alors comme f tend vers 0, il existe une suite $ (x_i)_i $ de réels positifs telle que $ \forall i, f([x_i,+\infty]) \subset I_i $.

Maintenant, tu prends la suite de segments du plan $ [(x_i,f(x_{i-1})),(x_{i+1},f(x_i))] $, elle sera toujours au dessus de la courbe grâce à la marge de sécurité magique du x2, et toujours au dessus de l'axe des abscisses bien sûr. On peut ensuite lisser pour obtenir la régularité souhaitée selon les besoins. On peut même construire une fonction explicite avec.

On peut remplacer le nombre 2 par n'importe quel nombre supérieur à 1, normalement.
(Je te laisse faire un dessin, c'est beaucoup plus clair avec.)
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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Re: fonction continue vs fonction convexe

Message par Jarjar666 » 01 févr. 2018 18:22

siro a écrit :
01 févr. 2018 18:14
Le problème, c'est de se trouver une marge de sécurité pour construire sa fonction convexe.

Indice #PTgaragiste #Gadzartstyle : x2 c'est une bonne marge de sécurité.

Un peu plus de détail :
SPOILER:
Soit C strictement positif majorant f (il en existe au moins un pour des raisons assez évidentes).
Soit la suite $ (I_i = [0,C/2^i])_i $.
Alors comme f tend vers 0, il existe une suite $ (x_i)_i $ de réels positifs telle que $ \forall i, f([x_i,+\infty]) \subset I_i $.

Maintenant, tu prends la suite de segments du plan $ [(x_i,f(x_{i-1})),(x_{i+1},f(x_i))] $, elle sera toujours au dessus de la courbe grâce à la marge de sécurité magique du x2, et toujours au dessus de l'axe des abscisses bien sûr. On peut ensuite lisser pour obtenir la régularité souhaitée selon les besoins. On peut même construire une fonction explicite avec.

On peut remplacer le nombre 2 par n'importe quel nombre supérieur à 1, normalement.
(Je te laisse faire un dessin, c'est beaucoup plus clair avec.)
Pas trop convexe ta fonction mais ton idée est la bonne : il faut prendre une fonction affine par morceaux dont la pente est de plus en plus faible.

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Re: fonction continue vs fonction convexe

Message par siro » 01 févr. 2018 18:24

Oops, ça m'apprendra à pas réfléchir assez.
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Re: fonction continue vs fonction convexe

Message par oty20 » 04 févr. 2018 21:34

Merci pour vos contribution , mais même une construction de la forme affine par morceaux me semble pas évidente , graphiquement c'est possible , mais formellement , pour $ f $ quelconque continue .... je n'arrive pas a formalisé , le probleme d'une constuction affine par morceaux est qu'on travaille pas sur un segment ! la seule possibilité est donc de définir g comme une limite d'une série de fonction affine par morceaux
ou bien de la forme $ g=\sum_{k\in \mathbb{N}} u_{k}g_{k} $ , avec $ g_{k} $ définie affine par morceaux sur $ I_{k} $ et $ 0 $ ailleurs , $ u_{k} $ de la forme $ f(x_{k}) $ a choisir ..... il faut s'assurer de la converge et pas mal de détailles avec cette construction , cela semble très compliqué .
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Re: fonction continue vs fonction convexe

Message par Siméon » 05 févr. 2018 17:16

Ce n'est pas si compliqué.

Sans perdre de généralité, on peut supposer que $\sup f = 1$. En utilisant la convergence vers $0$ en $+\infty$, on construit terme à terme une suite $(a_n)$ strictement croissante telle que $a_0 = 0$ et pour tout $n \in \mathbb N,\ \sup_{x\geqslant a_n} f(x) \leqslant 2^{-n}$. On peut imposer de plus que $a_{n+1} - a_n \geq 2(a_n - a_{n-1})$.

Soit alors $g$ telle que pour tout $n \in \mathbb N,\ g$ est affine sur $[a_n,a_{n+1}]$ avec $g(a_n) = 2^{-(n-1)}$.

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Re: fonction continue vs fonction convexe

Message par oty20 » 05 févr. 2018 20:09

Splendide , merci infiniment pour votre aide , je cherchais une subdivision $ [0,+\infty) $ a la parachute , je n'ai pas vu , ni pensé que c’était possible de la crée a partir de l' hypothèse du comportement de $ f $ en plus l'infinie , si on traduit cette hypothèse avec des épsilonnages , cela révèle en faite cette possibilité de construction , Bravo Cher Siméon . Au passage c'est une question d'oral ens ulm , ce qui m'avait conforté dans l'idée que cela serait quelque chose de très compliqué :oops:

@Siro la construction que vous aviez entamé était la finalement bonne , Bravo .
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Re: fonction continue vs fonction convexe

Message par siro » 06 févr. 2018 22:28

\o/

J'avais juste pas branché mes neurones pour terminer, mais oui en "repoussant" les jonctions ça devait aller normalement.
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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