Fonction bornée dont la dérivée admet une limite en + l'infini
Fonction bornée dont la dérivée admet une limite en + l'infini
Bonsoir,
Soit f une fonction C1 défini sur les réels positifs à valeur dans les réels.
On suppose que f est bornée, et que sa dérivée admet une limite finie en + l'infini.
Comment peut-on justifier que cette limite est nulle ?
Soit f une fonction C1 défini sur les réels positifs à valeur dans les réels.
On suppose que f est bornée, et que sa dérivée admet une limite finie en + l'infini.
Comment peut-on justifier que cette limite est nulle ?
Re: Fonction bornée dont la dérivée admet une limite en + l'infini
Tu peux raisonner par l'absurde et supposer que cette limite $ l $ est non nulle. Ta dérivée sera alors de signe constant et non nulle. Il s'agira alors de trouver une contradiction avec l'hypothèse $ f $ bornée.
SPOILER:
MVA
Re: Fonction bornée dont la dérivée admet une limite en + l'infini
Merci beaucoup !
Re: Fonction bornée dont la dérivée admet une limite en + l'infini
ou si tu interprètes f' étant la ''vitesse" de variations de f , par un argument d'accroissement finis : soit M un majorant de f
$ 2M \geq |f(x)-f(y)| = |f'(c)||x-y| $ de la on voit bien pourquoi , f' doit tendre vers 0 .
si tu prend par exemple $ x=n $ , $ y=\sqrt{n} $ tu construis une suite (c_{n}) tel que $ |f'(c_{n})| \leq \frac{2M}{n-\sqrt{n}} $
ce qui permet de conclure par caractérisation séquentielle de la limite $ l=0 $
$ 2M \geq |f(x)-f(y)| = |f'(c)||x-y| $ de la on voit bien pourquoi , f' doit tendre vers 0 .
si tu prend par exemple $ x=n $ , $ y=\sqrt{n} $ tu construis une suite (c_{n}) tel que $ |f'(c_{n})| \leq \frac{2M}{n-\sqrt{n}} $
ce qui permet de conclure par caractérisation séquentielle de la limite $ l=0 $
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .