Fonction bornée dont la dérivée admet une limite en + l'infini

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Fonction bornée dont la dérivée admet une limite en + l'infini

Message par alptvn » 04 févr. 2018 18:42

Bonsoir,
Soit f une fonction C1 défini sur les réels positifs à valeur dans les réels.
On suppose que f est bornée, et que sa dérivée admet une limite finie en + l'infini.
Comment peut-on justifier que cette limite est nulle ?

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Re: Fonction bornée dont la dérivée admet une limite en + l'infini

Message par Kallio » 04 févr. 2018 19:03

Tu peux raisonner par l'absurde et supposer que cette limite $ l $ est non nulle. Ta dérivée sera alors de signe constant et non nulle. Il s'agira alors de trouver une contradiction avec l'hypothèse $ f $ bornée.
SPOILER:
Sans perte de généralité, on peut supposer $ l > 0 $. Il existe alors un réel $ A $ tel que pour tout $ x \geq A $, $ f'(x)
> \frac{l}{2} $. Pour tout $ B \in \mathbb{R}_{+} $, on a $ \displaystyle\int_{A}^{B}f'(t)dt = f(B) - f(A) > \frac{l}{2}(B-A) $. Comme $ f $ est bornée (on considère $ M $ un majorant de $ f $), on a aussi $ M - f(A) \geq f(B) - f(A) $, d'où $ \frac{l}{2}(B-A) < M - f(A) $, contradiction (il suffit de faire tendre $ B $ vers $ + \infty $).
MVA

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Re: Fonction bornée dont la dérivée admet une limite en + l'infini

Message par alptvn » 04 févr. 2018 20:44

Merci beaucoup !

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Re: Fonction bornée dont la dérivée admet une limite en + l'infini

Message par oty20 » 04 févr. 2018 21:25

ou si tu interprètes f' étant la ''vitesse" de variations de f , par un argument d'accroissement finis : soit M un majorant de f
$ 2M \geq |f(x)-f(y)| = |f'(c)||x-y| $ de la on voit bien pourquoi , f' doit tendre vers 0 .
si tu prend par exemple $ x=n $ , $ y=\sqrt{n} $ tu construis une suite (c_{n}) tel que $ |f'(c_{n})| \leq \frac{2M}{n-\sqrt{n}} $
ce qui permet de conclure par caractérisation séquentielle de la limite $ l=0 $
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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