Cardinal groupe.

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Message par Bidoof » 07 févr. 2018 19:01

$ $
Salut à tous !

J'aimerais montrer que si $G$ est un groupe abélien fini alors $G[p] = \{ x\in G ; \exists n \in \mathbb{N}, x^{p^{n}} = 1\}$ est de cardinal une puissance de $p$.
Alors... J'ai un argument qui utilise l'exposant d'un groupe mais... Je pense qu'il y a plus simple qu'en dite vous ?

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Message par BobbyJoe » 08 févr. 2018 01:12

Pourtant, c'est assez naturel... Tu peux aussi remarquer que tous les éléments de $G[p]$ sont d'ordre une puissance de $p.$ Ainsi, si l'ordre de $G[p]$ (qui est sous groupe de $G$) n'était pas une puissance de $p$ alors par le lemme de Cauchy, on produirait un élément de $G[p]$ qui est d'un ordre un nombre premier différent de $p$...

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Re: Cardinal groupe.

Message par Bidoof » 08 févr. 2018 09:27

Mon argument sur l'exposant provient de Cauchy aussi (à savoir l'exposant d'un groupe a les mêmes facteurs premiers que le cardinal) mais lors d'un DS je ne veux pas redémontrer Cauchy j'ai besoin d'un truc plus simple.

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Re: Cardinal groupe.

Message par Bidoof » 08 févr. 2018 19:48

C'est bon merci.

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Re: Cardinal groupe.

Message par BobbyJoe » 08 févr. 2018 22:54

L'exposant d'un groupe (fini) n'est-t-il pas défini comme étant (lorsque ce groupe est commutatif) le ppcm des ordres des éléments de groupe?

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Re: Cardinal groupe.

Message par Bidoof » 09 févr. 2018 20:49

Ouais.

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Re: Cardinal groupe.

Message par BobbyJoe » 09 févr. 2018 21:01

Alors la réponse est facile si tous les éléments sont d'ordre une puissance de $p$!!!

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