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Salut tout le monde, concernant le théorème d'intégration par parties, pourquoi devrons-nous avoir u' et v' continues. Vu que la continuité est utile juste pour nous donner la primitive car toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive, on voit que u et v sont elles mêmes des primitives de u' et v'. Merci d'avance. (Je suis en terminale)

C'est essentiellement à cause du "juste" que tu signales.

Réponse fausse, mais mensonge pour un élève de terminale :
Si u' ou v' n'est pas continue sur le segment d'intégration, quand tu as u' ou v' dans l'intégrale, "tu ne peux pas calculer l'intégrale".

Le théorème est vrai avec des hypothèses plus faibles que $ (u,v) $ de classe $ \mathcal{C}^1 $, mais ça appelle des choses un peu au delà de la terminale.

lureshall23 se pose une excellente question.
Quand on a un théorème, il faut toujours se demander ce qui se passe si on vire une hypothèse ou si on l’affaiblit. Dans ce cas…hum….peut-on donner un contre-exemple accessible au niveau terminale ?
Si oui, c’est cool mais ça va être dur car les notions de continuité…ont-ils les outils pour ?
Si non, alors pourquoi s’acharne t on a leur faire apprendre ce théorème avec ces hypothèses ? (j’exagère un peu…)

Je pensais à un contre exemple dans lequel le résultat de l'intégration par partie est manifestement faux.

fakbill a écrit : ↑

13 févr. 2018 10:02

lureshall23 se pose une excellente question.
Quand on a un théorème, il faut toujours se demander ce qui se passe si on vire une hypothèse ou si on l’affaiblit. Dans ce cas…hum….peut-on donner un contre-exemple accessible au niveau terminale ?
Si oui, c’est cool mais ça va être dur car les notions de continuité…ont-ils les outils pour ?
Si non, alors pourquoi s’acharne t on a leur faire apprendre ce théorème avec ces hypothèses ? (j’exagère un peu…)

Si on affaiblit les hypothèses on se retrouve avec une intégrale qui ne rentre pas dans le cadre du programme.

Non mais le cadre en terminale c’est l'intégration des fonctions continues, donc on ne peut pas donner de contre-exemple étant donné que le théorème d’IPP est vrai en toute généralité pour les fonctions continues, il faut donc un exemple discontinu, qu’on ne sait pas intégrer en terminale.

D’ailleurs même niveau prépa en étendant aux fonctions continues par morceaux on ne peut pas trouver de contre-exemple (car si une fonction dérivable est à dérivée continue par morceaux, alors en particulier sa dérivée est bornée donc intégrable donc le théorème marche; si la dérivée n’est pas continue par morceaux, on ne sait plus l’intégrer niveau prépa donc on ne peut à nouveau rien dire étant donné que la question n’est même pas bien définie).

Il est donc important de donner l’hypothèse « dérivée continue » aux élèves de terminale étant donné qu’il faut au moins ça pour rester dans le cadre...

JeanN a été un peu plus concis que moi.

ah oui vu comme ça ok
C'est juste que ça n'a plus de sens si on affaiblit les hypothèses...pas de bol sur cet exemple.

Comme tu n'es plus en prépa, cela ne te portera pas préjudice de regarder du hors-programme puisque tu ne vas pas passer les concours. Si tu veux voir ce que cela donne hors programme, tu peux regarder le chapitre sur les espaces de Sobolev en 1D dans le Brezis "Analyse Fonctionnelle" ou le chapitre (ch 5? ch 6) sur la différentiation dans le Walter Rudin "analyse réelle et complexe" (recherche "continuité absolue"). Il suffit d'hypothèses plutôt faibles pour que le résultat tienne.