Point d’annulation

[noro]

Manque un i. Dommage..

C'est vrai, merci je supprime mon message

[oty20]

Mr Jean N a déjà confirmé qu'il y a des hypothèses manquante..... mais sans précisions sur celles ci .

l'énoncé tel quel ne permet de conclure que $ f $ s 'annule deux fois , qui provient de $ k=0 $
en effet , le fait que l’intégral de $ f $ est nulle sur $ [0,2\pi] $ , fait que $ f $ s'annule une fois ,
maintenant si par l'absurde il n'y avait pas un autre point d'annulation , on peut sans perdre de généralité se donner
$ u \in ]0,2\pi[ : \forall x \in [0,u[ f(x) > 0 , ~~\forall x \in ]u,2\pi] f(x)< 0 $ ce qui contredit le fait que $ f(0)=f(2\pi) $
en vertu de la périodicité de $ f $ .

Maintenant la fonction $ f(t)=\cos(t)+\sin(t) $ vérifie les hypothèses , pour toutes valeurs de $ n $
$ 2<< 2n $ est optimal .

[oty20]

Remarque : si la question numéro 1) est liée a la question 2) , l'esprit du problème si je ne me trompe pas serait que la question deux soit la version trigonométrique de la question 1) , c'est a dire introduisant les polynômes trigonométriques , ce fut ma constatation de base , dans ce cas si on ajoute l’hypothèse que les deux intégrales soient égales a zéros , on se ramène a la version polynôme trigonométrique de la question 1) i.e :
$ \int_{0}^{2\pi} f(t)e^{ikt} dt=0 $

[matmeca_mcf1]

Voici la solution pour le problème modifié puisque le problème initial a un contre-exemple. Celui où on suppose que
$$
\forall k<n\quad \int_{0}^{2\pi}\cos(kt)f(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{2\pi}\sin(kt)f(t)\mathrm{d}t=0
$$

1): Démontrer la propriété suivante: Soit $ g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ continue, $ 2\pi $-périodique et qui s'annule
en un nombre fini de points sur $ [0,2\pi) $ alors le nombre de points dans $ [0,2\pi) $
en lesquels $ g $ s'annule et change de signes est pair.
Rédaction laissée en exercice pour le lecteur.

2): Soit $ {\alpha,\beta} $ deux réels distincts appartenant à $ 0,2\pi $. On pose
$$
g_{\alpha,\beta}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\
t\mapsto\cos(t-\frac{b+a}{2})-\cos(\frac{b-a}{2})
$$
$ g_{\alpha,\beta} $ s'annule et change de signes $ 0,2\pi $ uniquement en $ \alpha $ et en $ \beta $.

De plus, $ g_{\alpha,\beta} $ est une combinaison linéaire des fonctions $ t\mapsto\cos(t) $, $ t\mapsto\sin(t) $
et $ t\mapsto1 $.

3) Par l'absurde, supposons que $ f $ s'annule et change de signe en exactement $ M $ points $ x_0,\ldots,x_{M-1} $ avec $ M<2n $.
Comme $ M $ est pair, nous avons $ M=2m $ et $ m<n $. On pose
$$
\psi\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\
t\mapsto\prod_{k=0}^{m-1}g_{x_{2k},x_{2k+1}}(t)
$$
La fonction $ \psi $ s'annule et change de signe en exactement les mêmes points que $ f $. Donc $ \psi f $ est de signe constant, continue, et ne s'annule qu'en un nombre fini de points sur $ [0,2\pi) $. Quitte à remplacer $ \psi $ par $ -\psi $, on peut sans perte de généralité supposer que $ \psi f\geq0 $. Donc
$$
\int_0^{2\pi}f(t)\psi(t)\mathrm{d}t>0
$$


De plus, $ \psi $ est le produit de $ m $
facteurs dont chacun est une combinaison linéaire de $ g_{\alpha,\beta} $ est une combinaison linéaire des fonctions $ t\mapsto\cos(t) $, $ t\mapsto\sin(t) $ et $ t\mapsto1 $. Je laisse en exercice au lecteur le soin de démontrer que cela implique que
$ \psi $ est une combinaison linéaire des fonctions
$$
t\mapsto\cos(kt)\forall k\in\mathbb{N}, k\geq m\\
t\mapsto\sin(kt)\forall k\in\mathbb{N}^*, k\geq m
$$
Donc, comme $ m<n $
$$
\int_0^{2\pi}f(t)\psi(t)\mathrm{d} t=0
$$

On a là une contradiction, donc la fonction $ f $ s'annule et change de signe en au moins $ 2n $ points sur $ [0,2\pi) $.

[oty20]

Très belle solution Professeur , qu'elle est la motivation derrière la construction de la famille de fonctions ?

Il me semble que la de tete , c'est possible d’adapter une preuve élémentaire avec des polynomes , via l'orthogonalité avec la famille cos(kt) , on tire un minimum de n solutions , et via celle de sin(kt) on tire un minimum de n autres .
Si f est nulle il y a rien a démontrer , Sinon :

la famille (T_{n}) de polynomes de Tchebychev vérifie : $ \cos(nt)=T_{n}(cos(t)) $ , avec $ deg(T_{n})=n $
$ (T_{0},...,T_{n-1}) $ est une famille de polynomes a degrés échelonné , elle forme donc une base de $ R_{n-1}[X] $
Maintenant soient $ 0\leq a_{1}<a_{2}<... <a_{m}\leq \pi \leq a_{m+1}<..<a_{p} $ , supposons par l'absurde $ p\leq n-1 $
D'une part pour $ i \in [[1,m-1]] $ tel que $ a_{i}<x<a_{i+1} $ par strict décroissance du cosinus sur $ [0,\pi[ $
il vient que $ b_{i+1}=\cos(a_{i+1}) < \cos(x) < b_{i}=\cos(a_{i}) $ ,
D'autre part , $ j \in [[m ,p-1]] $ il vient que $ c_{j}=\cos(a_{j}) < \cos(x) < c_{j+1}=\cos(a_{j+1}) $
on dispose donc d'une suite $ (d_{n}) $ construite a partir de $ (b_{n}) $ and $ (c_{n}) $ telle que $ \forall x \in [0,2\pi]-J : f(x) \Pi_{i=1}^{p} (\cos(x)-d_{i}) > 0 $ ou
$ J=\{a_{1},a_{2},....,a_{p}, d_{1},...,d_{p}\} $ , le polynôme $ P=\Pi_{i=1}^{p} (X-d_{i}) $ est de degrés au plus $ n-1 $ , on dispose donc de $ (t_{i}) $ tel que $ P(\cos(t))=\sum_{i=1}^{n-1} t_{i}Q_{i}(\cos(t)) $ par linéarité de l’intégral , Il s'ensuit que : $ \int_{0}^{2\pi} f(t)P(t)=0 $ donc $ f(x)=0 $ pour tout $ x \in [0,2\pi]-J $ , Par continuité il vient que $ f=0 $ par tout , contradiction .


pour la partie sinus , je peine a construire une solution de tete , je m'y pencherai sérieusement quand l'occasion se présentera ....

[Danator]

Merci pour ta résolution

[matmeca_mcf1]

> Très belle solution Professeur , quelle est la motivation derrière la construction de la famille de fonctions ?
Je ne suis malheureusement pas (encore) professeur d'université, juste un modeste maître de conférences.

Pour expliquer la construction de la famille de fonctions, revenons au cas général. Tu as dû voir un certain nombre de preuves du style:

1. Posons une fonction magique qui semble ne venir de nulle part.
2. Démontrons que cette fonction a tel et tel propriétés.
3. Combinons l'existence d'une fonction avec ces propriétés et les hypothèses pour obtenir le résultat souhaité (souvent par l'absurde).

Évidemment, la personne ayant découvert la preuve n'a pas cherché des fonctions au hasard, étudié leur propriétés puis cherché à voir si ces propriétés permettaient de conclure. La conception de la preuve s'est faite dans l'ordre inverse de sa rédaction. D'abord, on a observé que s'il existe une fonction avec certaines propriétés, alors on pouvait conclure, et ensuite on a recherché une telle fonction. Une fois que le travail est fait sur un brouillon, on jette le brouillon. Et, sur sa copie, ou dans son livre, ou au tableau, on écrit un royal "On pose:" et la preuve semble tomber du ciel.

Alors comment j'ai fait pour poser $ \psi $: on a un problème qui a pour hypothèses $ \int_a^b f(x) g_k(x)\mathrm{d}x=0 $ pour un certain nombre de $ k $. Cela signifie que pour tout $ g $ appartenant à l'espace vectoriel $ V $ engendré par tous les $ g_k $, on a $ \int_a^b f(x) g(x)\mathrm{d}x=0 $. L'idée principale à retenir de la question 1) est étant donné une fonction $ f $ ne vérifiant pas la conclusion, de chercher une fonction $ \psi $appartenant à $ V $ qui change de signe en même temps que la fonction $ f $ sur l'intervalle $ [a,b] $. Et si on arrive à fabriquer une telle fonction , on a $ \int \psi f $ qui ne peut être nul car $ \psi f $ de signe constant sur $ [a,b] $ et ne s'annulant qu'en un nombre fini de points, (et on rajoute la continuité de $ \psi f $ pour satisfaire les contraintes du programme de prépa). Une fois ce programme établi, il nous reste à trouver comment fabriquer
$ \psi $.

Revenons maintenant au problème 2) modifié.

Étant donné une fonction $ f $ qui change de signe en un nombre fini de points, on a juste besoin des $ M $ points $ x_1,\ldots,x_M $ où elle change de signe pour fabriquer $ \psi $. Pour obtenir une fonction qui change de signe en $ M $ points, le plus simple est de prendre le produit de $ M $ fonctions qui changent de signes en exactement $ 1 $ point. On sait en plus par expérience que les expressions trigonométriques $ \cos^k(t)\sin^\ell(t) $ sont des CL de $ \cos(rt) $ et de $ \sin(st) $ avec $ r,s\leq k+\ell $. Donc on va chercher à prendre le produit de fonctions du style $ t\mapsto \alpha \cos(t)+\beta\sin(t)+\gamma $.

On remarque alors deux choses qui vont nous forcer à modifier notre programme. Premièrement, Pour $ M $ égal à $ 2n-1 $ ou egal à $ 2n-2 $, on ne va pas pouvoir prendre le produit de $ M $ telles fonctions et rester dans notre espace vectoriel $ V $, le nombre maximum de multiplications que l'on peut faire pour rester dans $ V $ est $ n-1 $. Deuxièmement les fonctions
$ t\mapsto \alpha \cos(t)+\beta\sin(t)+\gamma $ s'annulent et changent de signes soit en deux points, soit en zéro. Cela se voit facilement en se rappelant que $ t\mapsto \alpha \cos(t)+\beta\sin(t) $ est une fonction sinusoïdale avec un déphasage et un facteur d'amplitude.

Ces deux problèmes par rapport à notre programme de travail initiale se compensent, nous devons donc construire $ M/2 $ fonctions qui chacune s'annule et change de signes en $ 2 $ points parmi $ x_1,\ldots,x_M $. Mais que fait-on si $ M $ est impair? Nous devons d'abord prouver que $ M $ est pair, ce qui n'est pas trop difficile, il suffit de s'inspirer du cas $ n=1 $ et d'utiliser la périodicité de $ f $. Donc maintenant notre problème est devenu, soit $ a,b $ dans $ [0,2\pi) $, trouvons $ \alpha,\beta,\gamma $ tel que
$ t\mapsto \alpha \cos(t)+\beta\sin(t)+\gamma $ s'annule et change de signe en $ a $ et en $ b $. Et si on écrit une telle fonction comme un cosinus déphasé, on s'aperçoit que son maximum doit être en $ (a+b)/2 $, et il ne reste qu'à poser
$$
g_{a,b}(t)=\cos(t-(a+b)/2)+cste.
$$
puis à calculer la constante pour que $ g_{a,b}(a)=g_{a,b}(b)=0 $.

Pour rédiger la preuve, on reprend notre raisonnement à l'envers, et pour éviter de perdre du temps sur notre copie, on pose $ \psi $ directement sans expliquer sa provenance.


Je précise aussi que la question 1 a un intérêt numérique. Suppose que tu poses $ P_k $ un polynôme réel de degré [k], non nul, orthogonal à tous les polynômes de degré inférieur où égal à $ k-1 $ pour le produit scalaire $ (P,Q)=\int_0^1P(x)Q(x)\mathrm{d} x $. De tels polynômes existent (par orthogonalisation de Gram-Schmidt). Et ils sont uniques à une constante scalaire multiplicative près. Ces polynômes sont appelés polynômes de Legendre. Et le résultat numéro 1 implique que le $ n $ieme polynôme de Legendre admet $ n $ racines simples dans $ (0,1) $. Ces racines sont appelées les points de Gauss et servent en intégration numérique.

[oty20]

Merci infiniment , pour ce merveilleux poste , très instructif .