Exo e^a_n + e^b_n avec argch

[TMWKTM]

Bonjour, ma question est au sujet de l'exo suivant :
Soit $ (a_n),(b_n) $des suites rélles tel que $ a_n + b_n \rightarrow 0 $et $ e^{a_n}+e^{b_n} \rightarrow 2 $ Montrer que $ (a_n) et (b_n) $ sont de limite nulle
J'ai regardé plusieurs corrigés et aucun ne le fait avec argch alors que cela me semble beaucoup plus simple, est ce que argch est hors programme ? Ou alors j'ai raté quelque chose dans mon raisonnement :
$ e^{a_n}+ e^{b_n} = 2 ch (\dfrac{a_n - b_n}{2}) $Donc $ ch (\dfrac{a_n - b_n}{2}) \rightarrow 1 $\\
Argch définie sur $ [1,+\infty] $ et continue en 1. On a bien $ \forall n \in \mathbb{N}, ch (\dfrac{a_n - b_n}{2}) \leq 1 $ Donc $ | \dfrac{a_n - b_n}{2} | \rightarrow 0 $ et après ça marche bien.

merci d'avance

[BobbyJoe]

Les exos de ce type sont rédigés par des extractions de sous-suite (on montre que les suites sont bornées et ont une seule valeur d'adhérence), car cette méthode est plus robuste qu'une astuce calculatoire, tout simplement...

[PiCarréSurSix]

Ta factorisation en ch est douteuse.
Au passage, argch est bien hors programme il me semble.

[TMWKTM]

Les exos de ce type sont rédigés par des extractions de sous-suite (on montre que les suites sont bornées et ont une seule valeur d'adhérence), car cette méthode est plus robuste qu'une astuce calculatoire, tout simplement...

Ok merci, oui c'est ce genre de corrections que j'ai vu.

Ta factorisation en ch est douteuse.
Au passage, argch est bien hors programme il me semble.

D'accord pour argch, Merci. Oui j'ai tapé trop vite il y bien sûr le $ e^{\dfrac{a_n + b_n}{2}} $

[jmctiti]

Bonjour

On peut aussi tout simplement écrire
$ a_n=b_n+\epsilon_n $ et $ e^{a_n}+e^{b_n}=2+2 \epsilon'_n $
puis se ramener à une expression polynomiale du second degré en $ u_n=e^{a_n} $
qu'il suffit de mettre sous forme canonique, pour pouvoir conclure.

[Jarjar666]

Essaie de faire an + bn + cn --->0 et e^an + e^bn + e^cn ---->3 implique la convergence des suites en complément.