Limite en 0

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Limite en 0

Message par prepamath » 16 févr. 2018 20:38

Bonjour à tous,

Je peine à montrer que la fonction suivante est intégrable en 0 :

t -> $ \frac{sin^{2}(2\pi lnt)}{t^{2}} exp\tfrac{-ln^{2}(t)}{2} $

et plus généralement, je me demande comment montrer proprement que la quantité suivante tend vers 0 en 0 :

$ \frac{1}{t} exp({-ln^{2}(t)}) $

Merci pour votre aide

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Re: Limite en 0

Message par matmeca_mcf1 » 16 févr. 2018 21:53

Qu'as-tu essayé pour résoudre l'exercice?
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

Des études

Re: Limite en 0

Message par Des études » 16 févr. 2018 22:41

prepamath a écrit :
16 févr. 2018 20:38
je me demande comment montrer proprement que la quantité suivante tend vers 0 en 0 :
$ \frac{1}{t} exp({-ln^{2}(t)}) $
Tu poses $ \ X=\frac{1}{t} $; remarques qu'il n'y aurait plus de problème de signe car ton $ \ X $ va tendre vers +$ \infty $

$ \frac{1}{t} exp({-ln^{2}(t)}) $=$ exp(ln{X}(1-ln{X})) $

La limite sera 0, le terme-puissance de l'expo tend vers -$ \infty $

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Re: Limite en 0

Message par prepamath » 17 févr. 2018 21:07

Merci. En fait, ma question 2 était reliée à ma question 1, je souhaitais montrer que l'intégrale était faussement impropre en 0, au sens où cette fonction tendait vers 0 en 0 et était donc prolongeable par continuité.

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Re: Limite en 0

Message par Samuel.A » 20 févr. 2018 21:44

Et bien tu souhaites majorer ta fonction en valeur absolue par une fonction qui tend vers 0. Le sinus se majore facilement par 1 et la fonction qu'il te reste tend vers 0 d'après ce qu'il vient d'être démontré :)

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