Dérivéee partielle => continuité ?
Dérivéee partielle => continuité ?
Bonjour, je me pose cette question de cours (je ne trouve pas de réponse dans le mien) :
Soit f fonction de R² dans R².
A-t-on $$ \frac{\partial f}{\partial x} $$ et $$ \frac{\partial f}{\partial y} $$ existe sur R² => f continue sur R² ?
Merci pour votre aide
Soit f fonction de R² dans R².
A-t-on $$ \frac{\partial f}{\partial x} $$ et $$ \frac{\partial f}{\partial y} $$ existe sur R² => f continue sur R² ?
Merci pour votre aide
Re: Dérivéee partielle => continuité ?
Grâce au "et", seulement.
Si toutes les dérivées partielles (d'ordre 1) de f sont définies dans un voisinage d'un point a et continues en ce point, alors f y sera différentiable. (et donc a fortiori continue).
(et donc, si les dérivées partielles sont définies et continues sur un ouvert alors la différentielle de f le sera aussi)
Si toutes les dérivées partielles (d'ordre 1) de f sont définies dans un voisinage d'un point a et continues en ce point, alors f y sera différentiable. (et donc a fortiori continue).
(et donc, si les dérivées partielles sont définies et continues sur un ouvert alors la différentielle de f le sera aussi)
Masséna (PC*) -- X15 -- Spatial.
Re: Dérivéee partielle => continuité ?
Bonsoir, merci mais je n'ai pas supposé les dérivées partielles continues, cela ne fonctionne donc pas,si?
Re: Dérivéee partielle => continuité ?
j'ai lu un peu vite.
Tu peux trouver des fonctions qui admettent des dérivées partielles partout, et pour autant ne sont pas continues partout. Typiquement, on cite souvent
$ \left\{{\begin{array}{cl}{\text{si}}\ (x,y)\neq (0,0),\ f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}~,\\f(0,0)=0\end{array}}\right. $
qui n'est pas continue en 0 (en suivant x=y par exemple)
Tu peux trouver des fonctions qui admettent des dérivées partielles partout, et pour autant ne sont pas continues partout. Typiquement, on cite souvent
$ \left\{{\begin{array}{cl}{\text{si}}\ (x,y)\neq (0,0),\ f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}~,\\f(0,0)=0\end{array}}\right. $
qui n'est pas continue en 0 (en suivant x=y par exemple)
Masséna (PC*) -- X15 -- Spatial.
Re: Dérivéee partielle => continuité ?
Merci ! Bonne soirée
Re: Dérivéee partielle => continuité ?
il me semble que les dérivées partielles sont définie suivant la continuité sur une direction . Alors que la continuité , il faut qu'il y ait convergence indépendamment de la direction choisi .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .