Dérivéee partielle => continuité ?

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Dérivéee partielle => continuité ?

Message par prepamath » 18 févr. 2018 19:30

Bonjour, je me pose cette question de cours (je ne trouve pas de réponse dans le mien) :

Soit f fonction de R² dans R².

A-t-on $$ \frac{\partial f}{\partial x} $$ et $$ \frac{\partial f}{\partial y} $$ existe sur R² => f continue sur R² ?

Merci pour votre aide

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Re: Dérivéee partielle => continuité ?

Message par Hibiscus » 18 févr. 2018 19:37

Grâce au "et", seulement.
Si toutes les dérivées partielles (d'ordre 1) de f sont définies dans un voisinage d'un point a et continues en ce point, alors f y sera différentiable. (et donc a fortiori continue).
(et donc, si les dérivées partielles sont définies et continues sur un ouvert alors la différentielle de f le sera aussi)
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Re: Dérivéee partielle => continuité ?

Message par prepamath » 18 févr. 2018 19:40

Bonsoir, merci mais je n'ai pas supposé les dérivées partielles continues, cela ne fonctionne donc pas,si?

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Re: Dérivéee partielle => continuité ?

Message par Hibiscus » 18 févr. 2018 19:49

j'ai lu un peu vite.
Tu peux trouver des fonctions qui admettent des dérivées partielles partout, et pour autant ne sont pas continues partout. Typiquement, on cite souvent
$ \left\{{\begin{array}{cl}{\text{si}}\ (x,y)\neq (0,0),\ f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}~,\\f(0,0)=0\end{array}}\right. $
qui n'est pas continue en 0 (en suivant x=y par exemple)
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Re: Dérivéee partielle => continuité ?

Message par prepamath » 18 févr. 2018 19:57

Merci ! Bonne soirée

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Re: Dérivéee partielle => continuité ?

Message par oty20 » 19 févr. 2018 04:47

il me semble que les dérivées partielles sont définie suivant la continuité sur une direction . Alors que la continuité , il faut qu'il y ait convergence indépendamment de la direction choisi .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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