Mais que voulait dire mon prof?

[callmemike]

Bonjour,

Je viens demander de l'aide car je me retrouve devant un exercice incompréhensible en classe de MP*. Voici l'énoncé, mot-à-mot:

On pose $ f(x)=exp(ie^{4x}) $, montrer que la fonction $ x\mapsto f(x)e^{-ax} $ est intégrable ssi $ a\geq 0 $.
Montrer que si $ a=-2 $, l'intégrale impropre de $ x\mapsto f(x)e^{-ax} $ converge.

Mon premier problème est que l'on ne connait pas l'intervalle d'intégration: si l'on suppose $ \mathbb{R} $, ça ne marche pour aucune valeur de $ a $ puisque le module de $ f $ vaut constamment $ 1 $.

Si l'on suppose que c'est $ \mathbb{R}^+ $, ça marche ssi $ a>0 $, ce qui diffère de l'énoncé.

J'ai donc bien peur d'être entrain de rater quelquechose d'important. Où est mon/son erreur?

Merci, un élève inquiet

Edit: correction d'un erreur de copie

[oty20]

le module de $ f $ ne vaut pas constamment 1 , $ f(x)=e^{\cos(4x)}.e^{i\sin(4x)} $

[callmemike]

le module de $ f $ ne vaut pas constamment 1 , $ f(x)=e^{\cos(4x)}.e^{i\sin(4x)} $

Je me suis trompé en recopiant l'énoncé, j'ai corrigé cela. C'est d'ailleurs peut-être mon erreur que le professeur voulait commettre...?

[bullquies]

bah l'énoncé est clairement faux, donc à partir de là tu peux arrêter de "t'inquiéter pour un exercice" qui ne changera rien à ta vie.

il suffit de prendre a=0 pour voir que la fonction proposée n'est pas intégrable, donc ca commence mal. A partir de là on ne peut que supposer que la fonction f n'est pas la bonne.

[matmeca_mcf1]

Le seul intervalle logique dans cette question est $ [0,+\infty) $. Effectivement, la fonction n'est pas intégrable pour a=0 sur cet intervalle.
Traite le cas $ a>0 $ qui n'est pas trop dur. Si ton prof est susceptible, mentionne que tu ne sais pas le faire pour $ a=0 $. S'il ne l'est pas, montre que la fonction n'est pas intégrable pour $ a=0 $. Puis passe au cas $ a=-2 $. Qu'as-tu essayé pour montrer la convergence de l'intégrale impropre?

[callmemike]

Pour montrer la convergence de l'intégrale impropre, j'ai posé $ a_k = \int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}} |sin(t^2)| dt $, et constaté que:

$ \int_0^\infty e^{2x} e^{ie^{4x}} dx = \frac{1}{2} \int_1^\infty e^{it^2} dt $

et que:

$ \int_1^\infty sin(t^2) dt = \int_1^\sqrt{\pi} sin(t^2) dt + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k a_k $

J'applique ensuite le théorème spécial de convergence des séries alternées. Cependant, j'ai su prouver que la suite était positive et convergeait vers $ 0 $, mais la décroissance semble vraiment être une autre paire de manches...

[matmeca_mcf1]

L'idée y est. Fais attention à la rédaction: les profs de prépas sont en général très pointilleux sur la rédaction et ils ne vont pas laisser passer une égalité entre deux intégrales impropres dont tu n'as pas démontré la convergence.

Ton idée de passer par une suite est la bonne. N'oublie pas dans ta rédaction, de bien soigner le passage de l'existence de la limite de la suite à la convergence de l'intégrale impropre.

Regardons maintenant ta suite: il te reste un tout petit changement de variable à effectuer. Le but est de faire apparaître du $ \sin(u) $ sous l'intégrale et d'utiliser la périodicité.

[oty20]

une Ipp est plus efficace , il me semble .

[callmemike]

une Ipp est plus efficace , il me semble .

J'ai essayé d'en faire une avec $ 1 $ et $ e^{it^2} $, mais il me semble que le crochet (en $ te^{it^2} $) ne converge pas... Peut-être faut-il utiliser d'autres fonctions?

L'idée y est. Fais attention à la rédaction: les profs de prépas sont en général très pointilleux sur la rédaction et ils ne vont pas laisser passer une égalité entre deux intégrales impropres dont tu n'as pas démontré la convergence.

Regardons maintenant ta suite: il te reste un tout petit changement de variable à effectuer. Le but est de faire apparaître du $ \sin(u) $ sous l'intégrale et d'utiliser la périodicité.

Bien vu, j'y ferais attention (peut-être préciser que l'égalité est dans $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ puisque le changement de variable dit qu'une intégrale converge ssi l'autre converge).

Cependant, je n'arrive pas à effectuer le changement de variable, il me manque un $ t $ devant le sinus pour pouvoir appliquer la formule...

EDIT: J'ai oublié de préciser, mais selon Wikipedia, il ne serait pas possible d'exprimer ces intégrales à l'aide des fonctions usuelles. Il s'agit des Intégrales de Fresnel

[callmemike]

Après quelques recherches internet, il y a en fait beaucoup plus simple. C'est toujours un peu frustrant d'abandonner son travail parcequ'on trouve une meilleure solution, mais il suffit en fait de faire:

$$ \int_0^A sin(t^2) dt = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \int_0^A t^{4k+2} dt $$

puisque la série entière converge uniformément sur $ \mathbb{R} $. On obtient assez rapidement la convergence à partir de cette dernière expression. Maintenant que j'y pense, on peut surement faire la même chose avec $ e^{it^2} $ directement.

Je vous remercie de la précieuse aide!