Incompréhension d'un sujet

[Juliaaa]

Bonjour, j'ai commencé cet exercice mais je suis bloquée :

zaefzdze.PNG (1.8 Kio) Consulté 1055 fois

J'ai donc posé :

ss.PNG (1.12 Kio) Consulté 1055 fois

J''ai fait AM et MA, j'ai ensuite fait un système :

wa + yb = wa + xc
xa + zb = wb + xd
wc + yd = ya + zc
xc + zd = yb +zd

Mais je ne sais pas quoi faire après.
Merci beaucoup

[Hibiscus]

Tu n'as pas écrit d'exercice, juste un ensemble..

[Juliaaa]

Ah oui en effet, désolé,
Le but de l'exercice est de trouver E, donc la forme de la matrice A réalisant AM=MA. Mon prof m'a dit que je devais trouver quelque chose comme ca : A= a x Matrice identitée

avec un un des coefficients de la matrice A.

[Hibiscus]

Si tu prends ta matrice A, tu peux montrer qu'elle appartient à E si et seulement si elle commute avec les matrices formant une "base" de $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $ (je pense que c'est $ \mathbb{R} $ et pas E). C'est à dire les 4 matrices qui ont un des coefficients égal à 1 et les autres 0. (flemme des les écrire).

Ensuite, tu peux montrer que c'est équivalent à ce que A commute avec seulement deux d'entre elles. (celles où le 1 n'est pas sur la diagonale).

Tu arrives alors à un système linéaire beaucoup plus simple que celui écrit juste au dessus, et en particulier au résultat que tu as énoncé.

[Juliaaa]

Oui en effet c'est un R
D'accord je comprends la méthode, mais comment je pourrais justifier proprement le fait que je ne fasse commuter A qu'avec deux des matrices de base? j’espère que ma question est claire.

[Hibiscus]

Cherche un petit peu d'abord
4 c'est trop, parce que certaines se "ressemblent" trop, s'écrivent en fonction l'une de l'autre.., peut être.

[Juliaaa]

Avec le 1 en haut à gauche j'obtient :
a=a
b=0
c=0

Avec le 1 en haut à droite j'obtient :
c=0
a=d

Avec le 1 en bas à gauche j'obtient :
b=0
a=d

Avec le 1 en bas à droite j'obtient :
b=0
c=0
d=d

Donc en effet la première et la dernière se ressemble
Pour justifier l'utilisation uniquement des matrices formant une "base" de M2(R), j'essayerais de prouver que toutes les matrices sont composées d'une association de matrices de base.

[siro]

Est-ce que tu peux nous passer une photo du sujet entier original s'il te plaît ? Tel que c'est rédigé, on est obligé d'interpréter pour comprendre ce que tu veux savoir, et ça serait plus intéressant d'utiliser notre temps de calcul pour résoudre l'exercice que pour comprendre l'énoncé.

[JeanN]

J'imagine que la question est "trouver l'ensemble".
Il te faut procéder par analyse - synthèse.
Analyse :
Soit A dans E
Alors A commute avec E_{1,1} et E_{1,2} et E_{2,2}
Donc...
Donc A=aI_2

Remarque : dans cette phase d'analyse, tu n'as pas besoin d'utiliser absolument toutes les propriétés dont tu disposes.

Synthèse :
Soit A une matrice scalaire. Alors...

Conclusion : E=...

Remarque : évite d'essayer de rédiger ce genre de question par équivalences successives car c'est un peu casse-gueule

[Juliaaa]

siro : L'énoncer exacte est celui que j'ai posté dans le premier post (c'est juste l'ensemble R à la place de E) et la question est déterminer A

JeanN : D'accord, par analyse/synthèse, mais je ne comprends pas la notation " E_{1,1} et E_{1,2} et E_{2,2}"
Merci pour la remarque