Théorème des accroissements finis
Théorème des accroissements finis
Bonsoir à tous
J'ai une question peut pertinente voire un peu débile mais personne ne daigne me donner une reponse claire :
Ce fameux TAF s'applique sur une fonction continue sur [a;b] ---> Ok très bien
Sur une fonction dérivable sur ]a;b[ ---> mais pourquoi diable l'intervalle est-il ouvert !!!???
Notre prof ne nous a rien dit à ce sujet ..
Merci d'avance!
J'ai une question peut pertinente voire un peu débile mais personne ne daigne me donner une reponse claire :
Ce fameux TAF s'applique sur une fonction continue sur [a;b] ---> Ok très bien
Sur une fonction dérivable sur ]a;b[ ---> mais pourquoi diable l'intervalle est-il ouvert !!!???
Notre prof ne nous a rien dit à ce sujet ..
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PCSI 2017-2018
PC 2018-2019
PC 2018-2019
Re: Théorème des accroissements finis
Car ce sont les hypothèses "minimales" pour appliquer le théorème de Rolle, dont le TAF est une conséquence...
Evidemment que le résultat reste vrai si la fonction est dérivable sur $ $$[a,b]$ (bien que la notion de dérivabilité "naturelle" soit mieux définie sur un ouvert).
Evidemment que le résultat reste vrai si la fonction est dérivable sur $ $$[a,b]$ (bien que la notion de dérivabilité "naturelle" soit mieux définie sur un ouvert).
Re: Théorème des accroissements finis
Ah C'était donc aussi bête que ça ...
Merci beaucoup en tout cas
Merci beaucoup en tout cas
PCSI 2017-2018
PC 2018-2019
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Re: Théorème des accroissements finis
bonjour , il me semble qu'on pourrait ajouter que la notion de dérivabilité en un point , est défini a partir de la dérivabilité a droite et dérivabilité a gauche, Travailler sur un ouvert est donc ''naturelle'' vis a vis de cette définition , cela enlève le problème de dérivabilité au bornes .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Théorème des accroissements finis
Bonjour,
Question : soient $ E $ et $ F $ deux espaces vectoriels réels, $ f:E\to F $ une application et $ x\in E $. On suppose que pour toute courbe $ \gamma : \mathbb{R}\to E $ telle que $ \gamma(0)=x $ la fonction $ f\circ\gamma $ est dérivable en $ 0 $. Est-il vrai que $ f $ est différentiable en $ x $ ? C'est-à-dire : est-il vrai qu'il existe une application linéaire continue $ df(x): E\to F $ telle que : $ f(x+h)=f(x)+df(x)(h)+o_{0}(h) $
Non, la définition repose sur la notion de limite et pas celle de direction (cf. définition générale de la différentiabilité dans des espaces où "droite" et "gauche" ne veulent a priori rien dire). Que ça coïncide sur $ \mathbb{R} $ est plus un accident.il me semble qu'on pourrait ajouter que la notion de dérivabilité en un point , est défini a partir de la dérivabilité a droite et dérivabilité a gauche
Question : soient $ E $ et $ F $ deux espaces vectoriels réels, $ f:E\to F $ une application et $ x\in E $. On suppose que pour toute courbe $ \gamma : \mathbb{R}\to E $ telle que $ \gamma(0)=x $ la fonction $ f\circ\gamma $ est dérivable en $ 0 $. Est-il vrai que $ f $ est différentiable en $ x $ ? C'est-à-dire : est-il vrai qu'il existe une application linéaire continue $ df(x): E\to F $ telle que : $ f(x+h)=f(x)+df(x)(h)+o_{0}(h) $
Dernière modification par kakille le 05 mars 2018 15:22, modifié 1 fois.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
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Re: Théorème des accroissements finis
C'est toujours vache les histoires de dérivation pour les fonctions à plusieurs variables. Y'a toujours moyen de se planter à l'intuition.
Define "f est dérivable en x".
Define "f est dérivable en x".
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.
Re: Théorème des accroissements finis
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
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Re: Théorème des accroissements finis
La réponse est oui, de mémoire de géométrie différentielle (et quand on est dans un espace plongé dans IR^n ; si on visualise le graphe de f comme une variété, la différentielle s'écrit avec la matrice des dérivées partielles).
Mais on sort légèrement du programme de prépa.
Mais on sort légèrement du programme de prépa.
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Re: Théorème des accroissements finis
La réponse est non justement si $E$ n'est pas de dimension finie!
Re: Théorème des accroissements finis
Oui non mais tout de suite les cas moisis XD
(Je me doutais bien qu’il y aurait un piège en dimension quelconque. J’ai touché qu’à la géodiff en dimension finie.)
(Je me doutais bien qu’il y aurait un piège en dimension quelconque. J’ai touché qu’à la géodiff en dimension finie.)
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.