Théorème des accroissements finis

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Théorème des accroissements finis

Message par ChocolatMicha » 23 févr. 2018 19:10

Bonsoir à tous :D
J'ai une question peut pertinente voire un peu débile mais personne ne daigne me donner une reponse claire :
Ce fameux TAF s'applique sur une fonction continue sur [a;b] ---> Ok très bien
Sur une fonction dérivable sur ]a;b[ ---> mais pourquoi diable l'intervalle est-il ouvert !!!???
Notre prof ne nous a rien dit à ce sujet ..
Merci d'avance! :)
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Re: Théorème des accroissements finis

Message par BobbyJoe » 23 févr. 2018 19:26

Car ce sont les hypothèses "minimales" pour appliquer le théorème de Rolle, dont le TAF est une conséquence...
Evidemment que le résultat reste vrai si la fonction est dérivable sur $ $$[a,b]$ (bien que la notion de dérivabilité "naturelle" soit mieux définie sur un ouvert).

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Re: Théorème des accroissements finis

Message par ChocolatMicha » 23 févr. 2018 19:29

Ah C'était donc aussi bête que ça ...
Merci beaucoup en tout cas :D
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Re: Théorème des accroissements finis

Message par oty20 » 24 févr. 2018 04:52

bonjour , il me semble qu'on pourrait ajouter que la notion de dérivabilité en un point , est défini a partir de la dérivabilité a droite et dérivabilité a gauche, Travailler sur un ouvert est donc ''naturelle'' vis a vis de cette définition , cela enlève le problème de dérivabilité au bornes .
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Re: Théorème des accroissements finis

Message par kakille » 05 mars 2018 14:18

Bonjour,
il me semble qu'on pourrait ajouter que la notion de dérivabilité en un point , est défini a partir de la dérivabilité a droite et dérivabilité a gauche
Non, la définition repose sur la notion de limite et pas celle de direction (cf. définition générale de la différentiabilité dans des espaces où "droite" et "gauche" ne veulent a priori rien dire). Que ça coïncide sur $ \mathbb{R} $ est plus un accident.

Question : soient $ E $ et $ F $ deux espaces vectoriels réels, $ f:E\to F $ une application et $ x\in E $. On suppose que pour toute courbe $ \gamma : \mathbb{R}\to E $ telle que $ \gamma(0)=x $ la fonction $ f\circ\gamma $ est dérivable en $ 0 $. Est-il vrai que $ f $ est différentiable en $ x $ ? C'est-à-dire : est-il vrai qu'il existe une application linéaire continue $ df(x): E\to F $ telle que : $ f(x+h)=f(x)+df(x)(h)+o_{0}(h) $
Dernière modification par kakille le 05 mars 2018 15:22, modifié 1 fois.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

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Re: Théorème des accroissements finis

Message par siro » 05 mars 2018 15:10

C'est toujours vache les histoires de dérivation pour les fonctions à plusieurs variables. Y'a toujours moyen de se planter à l'intuition.

Define "f est dérivable en x". :mrgreen:
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Re: Théorème des accroissements finis

Message par kakille » 05 mars 2018 15:23

siro a écrit :
05 mars 2018 15:10
Define "f est dérivable en x". :mrgreen:
Done
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

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Re: Théorème des accroissements finis

Message par siro » 05 mars 2018 15:33

La réponse est oui, de mémoire de géométrie différentielle (et quand on est dans un espace plongé dans IR^n ; si on visualise le graphe de f comme une variété, la différentielle s'écrit avec la matrice des dérivées partielles).
Mais on sort légèrement du programme de prépa.
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Re: Théorème des accroissements finis

Message par BobbyJoe » 05 mars 2018 20:15

La réponse est non justement si $E$ n'est pas de dimension finie!

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Re: Théorème des accroissements finis

Message par siro » 05 mars 2018 20:19

Oui non mais tout de suite les cas moisis XD
(Je me doutais bien qu’il y aurait un piège en dimension quelconque. J’ai touché qu’à la géodiff en dimension finie.)
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